Giải Bài 1.11 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

Phân tích. Ta chứng minh đẳng thức bằng cách khai triển vế trái theo công thức cộng, rồi dùng công thức $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ để biến đổi về hai vế còn lại.

a) Chứng minh $\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b$.

Áp dụng công thức cộng:
$$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b,$$
$$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.$$

Nhân hai đẳng thức trên (dạng hằng đẳng thức $(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$ với $X = \sin a\cos b$, $Y = \cos a\sin b$):
$$\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a\cos^2 b - \cos^2 a\sin^2 b.$$

Thay $\cos^2 b = 1 - \sin^2 b$ và $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$:
$$= \sin^2 a\,(1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a)\,\sin^2 b$$
$$= \sin^2 a - \sin^2 a\sin^2 b - \sin^2 b + \sin^2 a\sin^2 b$$
$$= \sin^2 a - \sin^2 b.$$

Vậy $\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b$ (đpcm).

b) Chứng minh $\sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a$.

Từ công thức $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ta có $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ và $\sin^2 b = 1 - \cos^2 b$. Do đó:
$$\sin^2 a - \sin^2 b = (1 - \cos^2 a) - (1 - \cos^2 b) = \cos^2 b - \cos^2 a.$$

Vậy $\sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a$ (đpcm).

Kết luận. Từ a) và

b) suy ra:
$$\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a.\qquad\blacksquare$$

Đáp số