Giải Bài 1.13 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

Dao động tổng hợp là:

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right).$$

Đặt thừa số chung $2$ ra ngoài:

$$x(t) = 2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right)\right].$$

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

$$\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2},$$

với $a = \dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}$ và $b = \dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}$. Ta tính:

$$\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12},$$

$$\dfrac{a-b}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4}.$$

Do đó:

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right)\cos\dfrac{\pi}{4}.$$

Suy ra:

$$x(t) = 2\cdot 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right)\cos\dfrac{\pi}{4} = 4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right).$$

Vậy phương trình dao động tổng hợp là:

$$\boxed{x(t) = 2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right)\ (\text{cm}).}$$

So sánh với dạng tổng quát $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, ta được:

- Biên độ dao động: $A = 2\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 2{,}83\ \text{cm}$.
- Pha ban đầu: $\varphi = -\dfrac{\pi}{12}$ (thỏa mãn $\varphi \in [-\pi;\pi]$).

Kiểm tra lại (tại $t = 0$):

$x_1(0) = 2\cos\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}$; $\ x_2(0) = 2\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = 1$, nên $x_1(0)+x_2(0) = \sqrt{3}+1 \approx 2{,}732$.

Mặt khác $x(0) = 2\sqrt{2}\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) \approx 2{,}828\cdot 0{,}966 \approx 2{,}732$. Hai kết quả trùng khớp, vậy đáp số đúng.

Đáp số