Giải Bài 1.9 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

## a) $\sin a = \dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$

Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ hai, do đó $\cos a < 0$.

Từ $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:
$$\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = -\sqrt{\dfrac{8}{9}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Tính $\sin 2a$:
$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{9}.$$

Tính $\cos 2a$:
$$\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.$$

Tính $\tan 2a$:
$$\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}}{\dfrac{7}{9}} = -\dfrac{4\sqrt{2}}{7}.$$

##

b) $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$

Tính $\sin 2a$: Bình phương hai vế của $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$:
$$(\sin a + \cos a)^2 = \dfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; 1 + 2\sin a\cos a = \dfrac{1}{4}.$$
Suy ra
$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}.$$

Tính $\cos 2a$: Ta có $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a)$.

Xét $(\cos a - \sin a)^2 = 1 - 2\sin a\cos a = 1 - \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{7}{4}.$

Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$ nên $\sin a > 0$ và $\cos a < 0$, do đó $\cos a - \sin a < 0$:
$$\cos a - \sin a = -\sqrt{\dfrac{7}{4}} = -\dfrac{\sqrt{7}}{2}.$$

Vậy
$$\cos 2a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a) = \left(-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{7}}{4}.$$

Tính $\tan 2a$:
$$\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{-\dfrac{\sqrt{7}}{4}} = \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}.$$

*Kiểm tra:* $2a \in (\pi; \tfrac{3\pi}{2})$ (góc phần tư thứ ba) nên $\sin 2a < 0$, $\cos 2a < 0$, $\tan 2a > 0$ — phù hợp với kết quả tìm được.

Đáp số