Giải Bài 1.8 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

a) Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ hai, do đó $\cos a < 0$.

Ta có $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.$

Suy ra $\cos a = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Áp dụng công thức cộng:
$$\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos a\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin a\sin\dfrac{\pi}{6}.$$

Thay số:
$$\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right) = \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{18}}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}.$$

Vậy $\cos\left(a+\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \approx -0{,}996.$

b) Vì $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ ba, do đó $\sin a < 0$.

Ta có $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}.$

Suy ra $\sin a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$, nên $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}.$

Áp dụng công thức cộng (với $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$):
$$\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan a - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan a\tan\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\tan a - 1}{1 + \tan a}.$$

Thay $\tan a = 2\sqrt{2}$:
$$\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}}.$$

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với $2\sqrt{2} - 1$:
$$\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{(2\sqrt{2}-1)^2}{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \dfrac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1} = \dfrac{9 - 4\sqrt{2}}{7}.$$

Vậy $\tan\left(a-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{9 - 4\sqrt{2}}{7} \approx 0{,}478.$

Đáp số