Giải Bài 1.7 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

Ta có $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ và biết các giá trị lượng giác của $45^\circ$, $30^\circ$:
$$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}.$$

a) Tính $\sin 15^\circ$ bằng công thức $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$:
$$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ$$
$$= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$$

b) Tính $\cos 15^\circ$ bằng công thức $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$:
$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ$$
$$= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$

c) Tính $\tan 15^\circ$ (vì $\cos 15^\circ \neq 0$):
$$\tan 15^\circ = \dfrac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \dfrac{8 - 2\sqrt{12}}{6 - 2} = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}.$$

d) Tính $\cot 15^\circ$ (vì $\sin 15^\circ \neq 0$):
$$\cot 15^\circ = \dfrac{1}{\tan 15^\circ} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}.$$

Kiểm tra: $\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = \dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{16} = \dfrac{(8 - 4\sqrt{3}) + (8 + 4\sqrt{3})}{16} = \dfrac{16}{16} = 1$ (thỏa mãn). Ngoài ra $\tan 15^\circ \cdot \cot 15^\circ = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$ (đúng).

Đáp số