Giải Luyện tập 4 trang 21 SGK Toán 11

Lời giải

Phân tích. Ta nhóm hai số hạng $\cos\dfrac{5\pi}{9}$ và $\cos\dfrac{11\pi}{9}$ rồi dùng công thức biến tổng thành tích
$$\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}.$$

Bước 1. Áp dụng công thức trên với $a=\dfrac{11\pi}{9}$, $b=\dfrac{5\pi}{9}$:
$$\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{11\pi}{9}=2\cos\dfrac{\dfrac{11\pi}{9}+\dfrac{5\pi}{9}}{2}\,\cos\dfrac{\dfrac{11\pi}{9}-\dfrac{5\pi}{9}}{2}=2\cos\dfrac{8\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}.$$

Bước 2. Vì $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ nên
$$\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{11\pi}{9}=2\cos\dfrac{8\pi}{9}\cdot\dfrac12=\cos\dfrac{8\pi}{9}.$$

Bước 3. Lại có $\dfrac{8\pi}{9}=\pi-\dfrac{\pi}{9}$, mà $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, do đó
$$\cos\dfrac{8\pi}{9}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{9}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{9}.$$

Bước 4. Thay vào biểu thức $B$:
$$B=\cos\dfrac{\pi}{9}+\left(\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{11\pi}{9}\right)=\cos\dfrac{\pi}{9}+\left(-\cos\dfrac{\pi}{9}\right)=0.$$

Kiểm tra. Đổi sang độ: $\dfrac{\pi}{9}=20^\circ,\ \dfrac{5\pi}{9}=100^\circ,\ \dfrac{11\pi}{9}=220^\circ$. Ta có $\cos20^\circ\approx0{,}9397$, $\cos100^\circ\approx-0{,}1736$, $\cos220^\circ\approx-0{,}7660$; cộng lại được $\approx 0$, phù hợp với kết quả.

Vậy $B=0$.

Đáp số