Giải Hoạt động 4 trang 21 SGK Toán 11

Lời giải

Ở Mục 3, ta đã có các công thức biến đổi tích thành tổng:

$$\cos a\cos b=\dfrac12\big[\cos(a-b)+\cos(a+b)\big]$$
$$\sin a\sin b=\dfrac12\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big]$$
$$\sin a\cos b=\dfrac12\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big]$$

Đặt $u=a-b$ và $v=a+b$. Khi đó cộng và trừ hai hệ thức này ta được:
$$a=\dfrac{u+v}{2},\qquad b=\dfrac{v-u}{2}.$$

Thay vào từng công thức ở trên (và viết lại vế trái thành tổng), ta nhận được các công thức biến đổi tổng thành tích.

a) Từ công thức của $\cos a\cos b$.

Nhân hai vế với $2$: $\cos(a-b)+\cos(a+b)=2\cos a\cos b$, tức là
$$\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{v-u}{2}.$$
Vì $\cos$ là hàm chẵn nên $\cos\dfrac{v-u}{2}=\cos\dfrac{u-v}{2}$, do đó
$$\boxed{\;\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\;}$$

b) Từ công thức của $\sin a\sin b$.

Nhân hai vế với $2$: $\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$, tức là
$$\cos u-\cos v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{v-u}{2}.$$
Vì $\sin$ là hàm lẻ nên $\sin\dfrac{v-u}{2}=-\sin\dfrac{u-v}{2}$, do đó
$$\boxed{\;\cos u-\cos v=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}\;}$$

c) Từ công thức của $\sin a\cos b$.

Nhân hai vế với $2$: $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$, tức là
$$\sin v+\sin u=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{v-u}{2}.$$
Vì $\cos$ là hàm chẵn nên $\cos\dfrac{v-u}{2}=\cos\dfrac{u-v}{2}$, do đó
$$\boxed{\;\sin u+\sin v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\;}$$

Nhận xét (công thức thứ tư). Trong $\sin u+\sin v$, thay $v$ bởi $-v$ và dùng $\sin(-v)=-\sin v,\ \cos$ chẵn, ta còn được
$$\sin u-\sin v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}.$$

Kiểm tra lại (lấy $u=60^\circ,\ v=0^\circ$ với công thức a): vế trái $\cos60^\circ+\cos0^\circ=\dfrac12+1=\dfrac32$; vế phải $2\cos30^\circ\cos30^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac32$. Hai vế bằng nhau, công thức đúng.

Đáp số