Giải Hoạt động 4 trang 8 SGK Toán 11

Lời giải

a) Ta cần định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a$.

Nhận xét: nếu kí hiệu $b = a^{\frac{1}{n}}$ thì điều kiện $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a$ trở thành $b^n = a$, tức là $b$ là một số thực dương mà lũy thừa bậc $n$ của nó bằng $a$.

Vì $a$ là số thực dương và $n$ là số nguyên dương nên tồn tại duy nhất một số thực dương $b$ thỏa mãn $b^n = a$; đó chính là căn bậc $n$ của $a$:
$$b = \sqrt[n]{a}.$$

Vậy ta định nghĩa:
$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.$$

Kiểm tra lại: $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$ (đúng theo điều kiện yêu cầu).

b) Với $m$ là số nguyên và $n$ là số nguyên dương, dựa vào kết quả câu a ta có $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.

Theo yêu cầu, ta định nghĩa:
$$a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Mặt khác, với $a > 0$ ta có $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$, nên cũng có thể viết:
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$$

Vậy lũy thừa với số mũ hữu tỉ $\dfrac{m}{n}$ của số thực dương $a$ được định nghĩa là:
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Đáp số