Giải Câu hỏi trang 8 SGK Toán 11

Lời giải

Nhắc lại định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$. Khi đó

$$a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$$

Ta cần điều kiện cơ số $a > 0$ vì hai lí do sau:

a) Bảo đảm căn thức luôn có nghĩa. Khi $a > 0$ thì $a^m > 0$ với mọi $m \in \mathbb{Z}$, nên $\sqrt[n]{a^m}$ luôn xác định (kể cả khi $n$ chẵn). Nếu cho phép $a < 0$ thì với $n$ chẵn, biểu thức $\sqrt[n]{a^m}$ có thể không tồn tại (căn bậc chẵn của số âm).

b) Bảo đảm giá trị $a^r$ là duy nhất, không phụ thuộc cách viết phân số $r$. Một số hữu tỉ có thể viết dưới nhiều dạng phân số khác nhau, chẳng hạn $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Nếu cho phép cơ số âm, ta gặp mâu thuẫn. Thật vậy, xét $a = -8$:

$$(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2,$$

nhưng nếu viết $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ thì

$$(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2.$$

Hai kết quả $-2$ và $2$ khác nhau, trong khi lẽ ra chúng phải bằng nhau vì $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Như vậy khi $a < 0$, giá trị của $a^r$ không được xác định một cách thống nhất.

Kết luận: Chính vì cần luỹ thừa với số mũ hữu tỉ vừa luôn có nghĩa, vừa có giá trị duy nhất (không phụ thuộc cách biểu diễn phân số của số mũ), nên trong định nghĩa phải có điều kiện cơ số $a > 0$.

Đáp số