Giải Bài 6.9 trang 17 SGK Toán 10

Lời giải

Parabol có dạng $y = ax^2 + bx + 1$ (hệ số tự do $c = 1$ đã biết). Ta cần tìm $a, b$ trong mỗi trường hợp.

a) Đi qua $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$.

Thay tọa độ hai điểm vào $y = ax^2 + bx + 1$:

- $A(1;0)$: $\;a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1$.
- $B(2;4)$: $\;a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 1 = 4 \Rightarrow 4a + 2b = 3$.

Ta có hệ:
$$\begin{cases} a + b = -1 \\ 4a + 2b = 3 \end{cases}$$

Từ phương trình đầu: $b = -1 - a$. Thay vào phương trình sau:
$$4a + 2(-1 - a) = 3 \Rightarrow 2a - 2 = 3 \Rightarrow a = \dfrac{5}{2},\quad b = -\dfrac{7}{2}.$$

Vậy parabol là $y = \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{7}{2}x + 1$.

*Kiểm tra:* $A(1)$: $\tfrac{5}{2} - \tfrac{7}{2} + 1 = 0$ ✓; $B(2)$: $10 - 7 + 1 = 4$ ✓.

b) Đi qua $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$.

- Qua $A(1;0)$: $\;a + b + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1$.
- Trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a$.

Thay $b = -2a$ vào $a + b = -1$:
$$a - 2a = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1,\quad b = -2.$$

Vậy parabol là $y = x^2 - 2x + 1$.

*Kiểm tra:* $A(1)$: $1 - 2 + 1 = 0$ ✓; trục $-\tfrac{-2}{2\cdot 1} = 1$ ✓.

c) Có đỉnh $I(1; 2)$.

- Hoành độ đỉnh: $-\dfrac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a$.
- Đỉnh thuộc parabol: $a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a + b = 1$.

Thay $b = -2a$:
$$a - 2a = 1 \Rightarrow -a = 1 \Rightarrow a = -1,\quad b = 2.$$

Vậy parabol là $y = -x^2 + 2x + 1$.

*Kiểm tra:* hoành độ đỉnh $-\tfrac{2}{2\cdot(-1)} = 1$; tung độ $y(1) = -1 + 2 + 1 = 2$ ✓.

d) Đi qua $C(-1; 1)$ và có tung độ đỉnh bằng $-0{,}25$.

- Qua $C(-1;1)$: $\;a\cdot(-1)^2 + b\cdot(-1) + 1 = 1 \Rightarrow a - b = 0 \Rightarrow a = b$.
- Tung độ đỉnh: $-\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{b^2 - 4a}{4a} = -0{,}25$ (với $c = 1$).

Vì $a = b$ nên:
$$-\dfrac{a^2 - 4a}{4a} = -\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{a^2 - 4a}{4a} = \dfrac{1}{4}.$$

Với $a \neq 0$, chia cả tử và mẫu cho $a$:
$$\dfrac{a - 4}{4} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a - 4 = 1 \Rightarrow a = 5,\quad b = 5.$$

Vậy parabol là $y = 5x^2 + 5x + 1$.

*Kiểm tra:* $C(-1)$: $5 - 5 + 1 = 1$ ✓; hoành độ đỉnh $-\tfrac{5}{10} = -0{,}5$, tung độ $5\cdot 0{,}25 - 2{,}5 + 1 = -0{,}25$ ✓.

Đáp số