Giải Vận dụng 2 trang 16 SGK Toán 10

Lời giải

Bước 1. Thiết lập hệ trục toạ độ.

Chọn hệ trục $Oxy$ như hướng dẫn: đặt một chân trụ tháp tại gốc $O(0;0)$, chân còn lại nằm trên tia $Ox$. Vì khoảng cách giữa hai chân trụ tháp là $27$ m nên chân kia có toạ độ $(27;0)$.

Trụ tháp là một phần đồ thị hàm số bậc hai dạng
$$y = ax^2 + bx \quad (a \neq 0).$$

Bước 2. Lập phương trình xác định $a,\,b$.

- Đồ thị đi qua gốc $O(0;0)$: thay $x=0$ được $y=0$ (đã thoả mãn do hàm số không có hệ số tự do).
- Đồ thị đi qua chân trụ còn lại $(27;0)$:
$$a\cdot 27^2 + b\cdot 27 = 0 \;\Rightarrow\; 27a + b = 0 \;\Rightarrow\; b = -27a. \quad (1)$$
- Điểm trên mặt đất cách chân trụ (đặt tại $O$) một khoảng $2{,}26$ m có hoành độ $x = 2{,}26$, tại đó chiều cao là $20$ m, tức đồ thị đi qua điểm $(2{,}26;\,20)$:
$$a\cdot (2{,}26)^2 + b\cdot 2{,}26 = 20. \quad (2)$$

Bước 3. Giải hệ.

Thay $(1)$ vào $(2)$:
$$a\,(2{,}26)^2 + (-27a)\,(2{,}26) = 20$$
$$a\cdot 2{,}26\,(2{,}26 - 27) = 20$$
$$a\cdot 2{,}26\cdot(-24{,}74) = 20$$
$$-55{,}9124\,a = 20 \;\Rightarrow\; a = \dfrac{20}{-55{,}9124} \approx -0{,}358.$$

Từ $(1)$: $b = -27a \approx -27\cdot(-0{,}358) \approx 9{,}658.$

Vậy hàm số là $y \approx -0{,}358\,x^2 + 9{,}658\,x.$

Bước 4. Tìm độ cao của đỉnh trụ tháp.

Đỉnh trụ tháp ứng với đỉnh của parabol, có hoành độ
$$x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{27}{2} = 13{,}5 \text{ (m)}$$
(đúng bằng trung điểm hai chân trụ, do tính đối xứng).

Độ cao của đỉnh (tung độ tại $x = 13{,}5$):
$$y = a\cdot 13{,}5^2 + b\cdot 13{,}5 = a\cdot 13{,}5\,(13{,}5 - 27) = a\cdot 13{,}5\cdot(-13{,}5) = -182{,}25\,a.$$
$$y \approx -182{,}25\cdot(-0{,}358) \approx 65{,}19 \text{ (m)}.$$

Kết luận: Độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng $65{,}19$ m.

*Kiểm tra lại:* với $a \approx -0{,}3577$, tại $x=2{,}26$ ta có $y \approx -0{,}3577\cdot 5{,}1076 + 9{,}658\cdot 2{,}26 \approx -1{,}827 + 21{,}83 \approx 20$ (m) — đúng với dữ kiện đề bài.

Đáp số