Giải Câu hỏi trang 11 SGK Toán 10

Lời giải

Hai mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall,\ \exists$ cần xét tính đúng sai là:

- Mệnh đề $P$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$" (với mọi số thực $x$, bình phương của $x$ không âm).
- Mệnh đề $Q$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 2$" (tồn tại số thực $x$ sao cho bình phương của nó bằng $2$).

a) Xét mệnh đề $P$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$".

Với mỗi số thực $x$ bất kì, bình phương của nó luôn thỏa mãn $x^2 \ge 0$:
- Nếu $x = 0$ thì $x^2 = 0 \ge 0$.
- Nếu $x \ne 0$ thì $x^2 > 0 \ge 0$.

Vì khẳng định đúng với *mọi* số thực $x$ nên mệnh đề $P$ là mệnh đề đúng.

b) Xét mệnh đề $Q$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 2$".

Với mệnh đề chứa kí hiệu $\exists$, chỉ cần chỉ ra (tồn tại) *một* số thực $x$ thỏa mãn $x^2 = 2$ là mệnh đề đúng.

Ta có $x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ hoặc $x = -\sqrt{2}$. Chẳng hạn, lấy $x = \sqrt{2} \in \mathbb{R}$ thì $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$. Vậy tồn tại số thực thỏa mãn điều kiện, nên mệnh đề $Q$ là mệnh đề đúng.

Kết luận: Cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng.

Đáp số