Giải Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 10

Lời giải

Mệnh đề đã cho có dạng "P nếu và chỉ nếu Q" (mệnh đề kéo theo cả hai chiều), với:

- P: "Số tự nhiên $n$ chia hết cho 5".
- Q: "Số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5".

Ta xét tính đúng sai của cả hai chiều.

Chiều thuận: "Nếu $n$ có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì $n$ chia hết cho 5" (Q $\Rightarrow$ P).

Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng $n = \overline{a_k \ldots a_1 a_0}$, trong đó phần tạo bởi các chữ số từ hàng chục trở lên luôn chia hết cho 10, nên chia hết cho 5; phần còn lại là chữ số tận cùng $a_0$. Do đó $n$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi $a_0$ chia hết cho 5. Nếu $a_0 = 0$ hoặc $a_0 = 5$ thì $a_0$ chia hết cho 5, suy ra $n$ chia hết cho 5. Vậy chiều thuận đúng.

Chiều đảo: "Nếu $n$ chia hết cho 5 thì $n$ có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5" (P $\Rightarrow$ Q).

Nếu $n$ chia hết cho 5 thì theo nhận xét trên, chữ số tận cùng $a_0$ phải chia hết cho 5. Mà $a_0$ là một chữ số ($0 \le a_0 \le 9$), nên $a_0 = 0$ hoặc $a_0 = 5$. Vậy chiều đảo đúng.

Kết luận: Cả hai chiều đều đúng, nên mệnh đề tương đương "$n$ chia hết cho 5 $\Leftrightarrow$ $n$ có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5" là một mệnh đề đúng.

Đáp số