Giải Bài 14 trang 73 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. $AX\perp BC$ tại $D$ và $AX$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $X$. Vì $H$ nằm trên $AD$ với $DH=DX$ nên $H,\,X$ đối xứng nhau qua $D$; mà $AD\perp BC$ nên $H$ đối xứng với $X$ qua đường thẳng $BC$. Xét tam giác $ABC$ nhọn. Kí hiệu ba góc là $A,\,B,\,C$.

### a) $H$ là trực tâm tam giác $ABC$

Vì $H\in AD$ và $AD\perp BC$ nên $AH\perp BC$, tức $H$ nằm trên đường cao kẻ từ $A$.

Trong tam giác vuông $ADC$ (vuông tại $D$): $\widehat{DAC}=90^\circ-C$, mà $X,\,A,\,D$ thẳng hàng nên
$$\widehat{XAC}=\widehat{DAC}=90^\circ-C.$$
Hai góc nội tiếp $\widehat{XBC}$ và $\widehat{XAC}$ cùng chắn cung $XC$ nên
$$\widehat{XBC}=\widehat{XAC}=90^\circ-C.$$
Vì $H$ đối xứng $X$ qua $BC$ (và $D\in BC$) nên $\widehat{HBC}=\widehat{XBC}=90^\circ-C$.

Gọi $E=BH\cap AC$. Trong tam giác $BEC$:
$$\widehat{BEC}=180^\circ-\widehat{EBC}-\widehat{BCE}=180^\circ-(90^\circ-C)-C=90^\circ,$$
nên $BE\perp AC$, tức $BH\perp AC$: $H$ nằm trên đường cao kẻ từ $B$.

$H$ thuộc hai đường cao (từ $A$ và từ $B$) nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Khi đó $D,\,E,\,F$ lần lượt là chân các đường cao từ $A,\,B,\,C$, và $DEF$ là tam giác orthic của $ABC$.

###

b) $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$

Ta chứng minh $DH,\,EH,\,FH$ là ba đường phân giác của tam giác $DEF$.

$DH$ phân giác $\widehat{FDE}$.

Tứ giác $BFHD$ có $\widehat{BFH}=\widehat{BDH}=90^\circ$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $BH$. Hai góc cùng chắn cung $HF$ cho
$$\widehat{HDF}=\widehat{HBF}=\widehat{EBA}=90^\circ-A$$
(xét tam giác vuông $ABE$).

Tứ giác $CEHD$ có $\widehat{CEH}=\widehat{CDH}=90^\circ$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $CH$. Hai góc cùng chắn cung $HE$ cho
$$\widehat{HDE}=\widehat{HCE}=\widehat{FCA}=90^\circ-A$$
(xét tam giác vuông $ACF$).

Vậy $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}=90^\circ-A$, nên $DH$ là phân giác của $\widehat{FDE}$.

Tương tự:
- Dùng các tứ giác nội tiếp $AFHE$ (đường kính $AH$) và $CEHD$: $\widehat{HEF}=\widehat{HAF}=90^\circ-B$ và $\widehat{HED}=\widehat{HCD}=90^\circ-B$, nên $EH$ phân giác $\widehat{DEF}$.
- Dùng các tứ giác nội tiếp $AFHE$ và $BFHD$: $\widehat{HFE}=\widehat{HAE}=90^\circ-C$ và $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}=90^\circ-C$, nên $FH$ phân giác $\widehat{DFE}$.

Ba đường phân giác của tam giác $DEF$ cùng đi qua $H$, vậy $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ (đpcm).

Đáp số