Giải Bài 13 trang 73 SBT Toán 9

Lời giải

Ý a) Chứng minh $BH = CK$ và $CH = BK$

Vì $AK$ là đường kính của $(O)$ nên các góc $\widehat{ABK}$ và $\widehat{ACK}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó:
$$\widehat{ABK} = 90^\circ \Rightarrow KB \perp AB, \qquad \widehat{ACK} = 90^\circ \Rightarrow KC \perp AC.$$

Mặt khác, $CF$ là đường cao nên $CF \perp AB$, tức là $CH \perp AB$; $BE$ là đường cao nên $BE \perp AC$, tức là $BH \perp AC$.

Từ đó:
- $KB \perp AB$ và $CH \perp AB$ nên $KB \parallel CH$.
- $KC \perp AC$ và $BH \perp AC$ nên $KC \parallel BH$.

Tứ giác $BHCK$ có $BH \parallel KC$ và $CH \parallel KB$ nên là hình bình hành. Suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau:
$$BH = CK \quad\text{và}\quad CH = BK. \qquad (\text{đpcm})$$

Ý

b) Chứng minh $AD \cdot AK = AB \cdot AC$

Xét hai tam giác $ABD$ và $AKC$:
- $\widehat{ADB} = 90^\circ$ (vì $AD$ là đường cao, $AD \perp BC$) và $\widehat{ACK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên $\widehat{ADB} = \widehat{ACK}$.
- $\widehat{ABD} = \widehat{AKC}$ vì $\widehat{ABD} = \widehat{ABC}$ và hai góc nội tiếp $\widehat{ABC}$, $\widehat{AKC}$ cùng chắn cung $AC$ của $(O)$.

Do đó $\triangle ABD \backsim \triangle AKC$ (góc – góc).

Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:
$$\frac{AB}{AK} = \frac{AD}{AC}.$$

Nhân chéo ta được:
$$AD \cdot AK = AB \cdot AC. \qquad (\text{đpcm})$$

Đáp số