Giải Bài 12 trang 73 SBT Toán 9

Lời giải

## Phân tích chung

Vì $DE \perp AB$ tại $E$ nên $\angle BED = 90^\circ$; vì $DF \perp AC$ tại $F$ nên $\angle DFC = 90^\circ$.

## a) Hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài

Xác định $(I)$. Tam giác $EBD$ vuông tại $E$ (do $\angle BED = 90^\circ$). Trong tam giác vuông, cạnh huyền là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, nên $BD$ là đường kính của $(I)$. Do đó tâm $I$ là trung điểm của $BD$ và bán kính
$$r_1 = \frac{BD}{2}.$$

Xác định $(J)$. Tương tự, tam giác $FDC$ vuông tại $F$ (do $\angle DFC = 90^\circ$), nên $DC$ là đường kính của $(J)$. Vậy tâm $J$ là trung điểm của $DC$ và bán kính
$$r_2 = \frac{DC}{2}.$$

Vị trí của $I,\,J$. Cả $I$ và $J$ đều nằm trên đường thẳng $BC$. Vì $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên trên tia $BC$ ta có thứ tự $B,\;I,\;D,\;J,\;C$, tức $D$ nằm giữa $I$ và $J$. Khi đó
$$IJ = ID + DJ = \frac{BD}{2} + \frac{DC}{2} = r_1 + r_2.$$

Kết luận. Khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính:
$$IJ = r_1 + r_2,$$
nên hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài với nhau. Điểm tiếp xúc nằm trên đoạn $IJ$, cách $I$ một khoảng $r_1 = ID$, chính là điểm $D$. Vậy $(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài tại $D$ (đpcm).

##

b) Hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ cắt nhau

Đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $MDC$ nên đi qua $D$ và $C$; đường tròn $(I)$ (đường kính $BD$) cũng đi qua $D$. Vậy $(I)$ và $(K)$ có chung điểm $D$.

Hai đường tròn có chung một điểm $D$ thì chỉ có thể xảy ra một trong hai khả năng: *tiếp xúc tại $D$* (chỉ chung mình $D$), hoặc *cắt nhau tại hai điểm*. Hơn nữa, hai đường tròn qua $D$ tiếp xúc tại $D$ khi và chỉ khi hai tâm cùng với $D$ thẳng hàng (vì điểm tiếp xúc luôn nằm trên đường nối tâm). Ta sẽ chứng tỏ $I,\,D,\,K$ không thẳng hàng.

* $I$ là trung điểm $BD$ nên $I \in BC$; lại có $D \in BC$. Do đó đường thẳng $ID$ chính là đường thẳng $BC$. Vậy $I,\,D,\,K$ thẳng hàng khi và chỉ khi $K \in BC$.
* $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ nên $K$ nằm trên đường trung trực của $DC$. Vì $DC$ nằm trên $BC$, đường trung trực của $DC$ vuông góc với $BC$ và cắt $BC$ đúng tại trung điểm $J$ của $DC$. Do đó $K \in BC$ khi và chỉ khi $K = J$.
* $K = J$ nghĩa là tâm đường tròn ngoại tiếp $MDC$ là trung điểm $DC$, tức $DC$ là đường kính của $(K)$, tương đương $\angle DMC = 90^\circ$, tức $DM \perp MC$ hay $DM \perp AC$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AC$, tức $M = F$.

Theo giả thiết $M \neq F$, nên $\angle DMC \neq 90^\circ$, suy ra $K \neq J$, do đó $K \notin BC$, nghĩa là $I,\,D,\,K$ không thẳng hàng.

Vậy hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ có chung điểm $D$ nhưng không tiếp xúc tại $D$, nên chúng cắt nhau tại hai điểm phân biệt (đpcm).

Đáp số