Giải Bài 11 trang 73 SBT Toán 9

Lời giải

## Nhận xét chung (dùng cho cả hai câu)

Vì $MA,\ MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ kẻ từ $M$ nên $MA = MB$.

Hình bình hành $MANB$ (các đỉnh theo thứ tự $M,A,N,B$) có hai cạnh kề $MA$ và $MB$ bằng nhau, nên nó là hình thoi. Do đó bốn cạnh bằng nhau và:
$$NB \parallel MA,\qquad NA \parallel MB,\qquad AN = NB = MA = MB.$$

Vì $OA = OB = R$ và $MA = MB$ nên $OM$ là đường trung trực của $AB$, đồng thời là tia phân giác của $\widehat{AMB}$. Đường chéo $MN$ của hình thoi cũng nằm trên phân giác $\widehat{AMB}$, nên ba điểm $M,\ O,\ N$ thẳng hàng và cả hình đối xứng qua đường thẳng $MO$ (phép đối xứng này đổi $A \leftrightarrow B$).

---

## a) Trường hợp $N$ không nằm trên $(O)$

• Tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Điểm $C$ nằm trên đường thẳng $NB$, nên dây $BC$ nằm trên đường thẳng $NB$. Vì $NB \parallel MA$ nên:
$$BC \parallel MA.$$
Mà $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Một dây song song với tiếp tuyến tại $A$ thì $A$ là điểm chính giữa của cung $BC$ (hai cung chắn giữa dây và tiếp tuyến bằng nhau). Do đó:
$$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} \ \Rightarrow\ AB = AC.$$
Vậy tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ (đpcm).

• Hai cung $BC$ và $AD$ có số đo bằng nhau.

Xét phép đối xứng trục $MO$. Phép này biến $A \leftrightarrow B$ và giữ $N$ cố định (vì $N \in MO$), nên biến đường thẳng $NA$ thành đường thẳng $NB$, do đó biến giao điểm thứ hai $D$ của $NA$ với $(O)$ thành giao điểm thứ hai $C$ của $NB$ với $(O)$, tức $D \leftrightarrow C$. Vì phép đối xứng trục giữ nguyên số đo cung nên:
$$\text{sđ}\,\overset{\frown}{AD} = \text{sđ}\,\overset{\frown}{BC} \quad (\text{đpcm}).$$

*(Cách khác: $NA \parallel MB$ mà $MB$ tiếp xúc tại $B$ nên $B$ là điểm chính giữa cung $AD$; kết hợp câu trên được $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=2\,\overset{\frown}{AB}$.)*

---

##

b) Trường hợp $N$ nằm trên $(O)$

• Tam giác $MAB$ đều.

Gọi $P$ là giao điểm hai đường chéo $MN$ và $AB$ của hình thoi. Khi đó $P$ là trung điểm của $MN$ và của $AB$, đồng thời $OM \perp AB$ tại $P$.

Đặt $OM = d$. Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ ($OA \perp MA$) có đường cao $AP$, theo hệ thức lượng:
$$OA^2 = OP \cdot OM \ \Rightarrow\ OP = \frac{R^2}{d}.$$
Trên đường thẳng $MO$ (lấy $O$ làm gốc, $M$ ở vị trí $d$), ta có $P$ ở vị trí $\dfrac{R^2}{d}$, và $N$ đối xứng với $M$ qua $P$ nên $N$ ở vị trí $\dfrac{2R^2}{d} - d$. Vì $N \in (O)$ nên $ON = R$:
$$\left| \frac{2R^2}{d} - d \right| = R \ \Rightarrow\ d^2 - Rd - 2R^2 = 0 \ \Rightarrow\ (d - 2R)(d + R) = 0 \ \Rightarrow\ OM = d = 2R.$$
Trong tam giác vuông $OAM$:
$$\sin\widehat{AMO} = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac12 \ \Rightarrow\ \widehat{AMO} = 30^\circ \ \Rightarrow\ \widehat{AMB} = 60^\circ.$$
Tam giác $MAB$ cân tại $M$ ($MA = MB$) có $\widehat{AMB} = 60^\circ$ nên là tam giác đều (đpcm).

• Độ dài cung $AB$ và diện tích hình quạt ($R = 6$ cm).

Ta có $\widehat{AOM} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$, nên góc ở tâm $\widehat{AOB} = 2\widehat{AOM} = 120^\circ$. Vậy cung $AB$ (nhỏ) có số đo $n = 120^\circ$.

Độ dài cung $AB$:
$$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4\pi \approx 12{,}57\ (\text{cm}).$$

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung $AB$:
$$S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120}{360} = 12\pi \approx 37{,}70\ (\text{cm}^2).$$

*(Kiểm tra: $S = \dfrac{l \cdot R}{2} = \dfrac{4\pi \cdot 6}{2} = 12\pi$ — khớp.)*

Đáp số