Giải Bài 2 trang 72 SBT Toán 9

Lời giải

Xét hệ phương trình: $\begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + my = 5 \end{cases}$

Từ phương trình thứ nhất ta rút ra $x = 1 - 3y$ (dùng cho cả hai ý).

a) Giải hệ khi $m = 1$.

Khi $m = 1$, hệ trở thành: $\begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$

Thay $x = 1 - 3y$ vào phương trình thứ hai:

$$2(1 - 3y) + y = 5 \Leftrightarrow 2 - 6y + y = 5 \Leftrightarrow -5y = 3 \Leftrightarrow y = -\dfrac{3}{5}.$$

Suy ra $x = 1 - 3\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right) = 1 + \dfrac{9}{5} = \dfrac{14}{5}.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(x; y\right) = \left(\dfrac{14}{5}; -\dfrac{3}{5}\right).$

*Thử lại:* $x + 3y = \dfrac{14}{5} - \dfrac{9}{5} = 1$ ✓ và $2x + y = \dfrac{28}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{25}{5} = 5$ ✓.

b) Tìm các số nguyên $m$ để hệ có nghiệm $(x; y)$ với $x, y$ đều là số nguyên.

Thay $x = 1 - 3y$ vào phương trình thứ hai:

$$2(1 - 3y) + my = 5 \Leftrightarrow 2 - 6y + my = 5 \Leftrightarrow (m - 6)y = 3. \quad (*)$$

- Nếu $m = 6$ thì $(*)$ trở thành $0\cdot y = 3$ (vô lí), hệ vô nghiệm. Vậy $m \neq 6$.
- Nếu $m \neq 6$ thì $y = \dfrac{3}{m - 6}$, và khi đó $x = 1 - 3y$ là số nguyên mỗi khi $y$ là số nguyên.

Do đó ta chỉ cần $y = \dfrac{3}{m-6}$ là số nguyên, tức là $m - 6$ là ước của $3$. Các ước của $3$ là $\pm 1; \pm 3$:

| $m - 6$ | $m$ | $y = \dfrac{3}{m-6}$ | $x = 1 - 3y$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $1$ | $7$ | $3$ | $-8$ |
| $-1$ | $5$ | $-3$ | $10$ |
| $3$ | $9$ | $1$ | $-2$ |
| $-3$ | $3$ | $-1$ | $4$ |

Với mỗi giá trị đó $x, y$ đều là số nguyên.

*Thử lại phương trình $2x + my = 5$:*
- $m = 3$: $2\cdot 4 + 3\cdot(-1) = 8 - 3 = 5$ ✓
- $m = 5$: $2\cdot 10 + 5\cdot(-3) = 20 - 15 = 5$ ✓
- $m = 7$: $2\cdot(-8) + 7\cdot 3 = -16 + 21 = 5$ ✓
- $m = 9$: $2\cdot(-2) + 9\cdot 1 = -4 + 9 = 5$ ✓

Vậy các số nguyên cần tìm là $m \in \{3; 5; 7; 9\}.$

Đáp số