Giải Bài 5.34 trang 72 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh $\widehat{BAC} = 90^\circ$.

Vì hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên tiếp điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$; do đó ba điểm $O$, $A$, $O'$ thẳng hàng và
$$OA = R,\quad O'A = R',\quad OO' = R + R'.$$

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = R$ nên nó cân tại $O$, suy ra
$$\widehat{OAB} = \widehat{OBA}.$$
Đặt $\widehat{AOB} = \alpha$ (góc giữa tia $OB$ và tia $OO'$). Khi đó
$$\widehat{OAB} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}.$$

Vì $OB \parallel O'C$ và hai điểm $B$, $C$ cùng phía đối với $OO'$, nên tia $O'C$ cùng hướng với tia $OB$. Góc $\widehat{AO'C}$ (tính với tia $O'A$ hướng về phía $O$) là góc trong cùng phía bù với $\alpha$:
$$\widehat{AO'C} = 180^\circ - \alpha.$$
Xét tam giác $O'AC$ có $O'A = O'C = R'$ nên nó cân tại $O'$, suy ra
$$\widehat{O'AC} = \widehat{O'CA} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}.$$

Vì $O$, $A$, $O'$ thẳng hàng nên ba góc ở đỉnh $A$ về cùng một phía của đường thẳng $OO'$ có tổng bằng $180^\circ$:
$$\widehat{OAB} + \widehat{BAC} + \widehat{O'AC} = 180^\circ.$$
Do đó
$$\widehat{BAC} = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - \frac{\alpha}{2} = 90^\circ.$$
Vậy $\widehat{BAC}$ là góc vuông (đpcm).

b) Tính $OD$ khi $R = 3$ cm, $R' = 1$ cm.

Ta có $OO' = R + R' = 3 + 1 = 4$ (cm) và $OB = 3$, $O'C = 1$.

Vì $OB \parallel O'C$ nên xét hai tam giác $DOB$ và $DO'C$: chúng có góc $\widehat{D}$ chung và $\widehat{DOB} = \widehat{DO'C}$ (hai góc đồng vị do $OB \parallel O'C$). Suy ra
$$\triangle DOB \backsim \triangle DO'C \ (\text{g.g}).$$
Do đó
$$\frac{DO}{DO'} = \frac{OB}{O'C} = \frac{R}{R'} = \frac{3}{1} = 3,$$
nên $DO = 3\,DO'$.

Vì $OB > O'C$ nên điểm $D$ nằm ngoài đoạn $OO'$, về phía $O'$; khi đó
$$DO - DO' = OO' = 4.$$
Thay $DO = 3\,DO'$:
$$3\,DO' - DO' = 4 \;\Rightarrow\; 2\,DO' = 4 \;\Rightarrow\; DO' = 2,$$
suy ra
$$OD = 3\,DO' = 3 \cdot 2 = 6 \ (\text{cm}).$$

Vậy $OD = 6$ cm.

Đáp số