Giải Bài 5.35 trang 72 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung. Hai đường tròn $(O)$ và $(N)$ đều có tâm nằm trên đường thẳng $MN$, nên hình vẽ đối xứng qua $MN$. Phép đối xứng trục $MN$ biến giao điểm $A$ thành giao điểm $B$. Do đó:
$$\angle AMN=\angle BMN,\qquad \angle ANM=\angle BNM.$$

### a) $MA,\;MB$ là hai tiếp tuyến của $(N)$

Vì $A$ nằm trên đường tròn $(O)$ có $MN$ là đường kính nên $\angle MAN=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức là $MA\perp NA$.

Mà $A$ lại là giao điểm nên $A\in(N)$, do đó $NA$ là một bán kính của $(N)$. Đường thẳng $MA$ vuông góc với bán kính $NA$ tại đầu mút $A$ của bán kính ấy, nên $MA$ là tiếp tuyến của $(N)$.

Tương tự, $B\in(O)$ nên $\angle MBN=90^\circ$, suy ra $MB\perp NB$; $NB$ là bán kính của $(N)$ nên $MB$ là tiếp tuyến của $(N)$. (đpcm)

###

b) $M$ và $N$ đối xứng qua $OC$

Vì $O$ là tâm $(O)$ nên $OM=ON$, tức $O$ nằm trên đường trung trực của $MN$. Vậy chỉ cần chứng minh $C$ cũng nằm trên trung trực của $MN$, nghĩa là $CM=CN$; khi đó $OC$ chính là đường trung trực của $MN$ và $M,N$ đối xứng nhau qua $OC$.

Đặt $\angle BNM=\angle ANM=\beta$, do đó $\angle ANB=2\beta$.

Tam giác $MBN$ vuông tại $B$ (câu a) có $\angle MNB=\beta$ nên
$$\angle NMC=\angle NMB=90^\circ-\beta. \qquad (1)$$

Theo giả thiết $NC\perp NA$ nên $\angle ANC=90^\circ$. Tia $NC$ nằm ngoài tia $NB$ (về phía $B$), nên
$$\angle BNC=\angle ANC-\angle ANB=90^\circ-2\beta,$$
do đó
$$\angle MNC=\angle MNB+\angle BNC=\beta+(90^\circ-2\beta)=90^\circ-\beta. \qquad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\angle NMC=\angle MNC$, nên tam giác $MNC$ cân tại $C$, tức $CM=CN$.

Vậy $C$ nằm trên đường trung trực của $MN$. Cùng với $O$ (vì $OM=ON$), đường thẳng $OC$ là trung trực của $MN$, nên $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $OC$. (đpcm)

###

c) $O,\;C,\;D$ thẳng hàng

Làm hoàn toàn tương tự câu

b) với điểm $D$. Đặt $\angle AMN=\angle BMN=\alpha$, khi đó $\angle AMB=2\alpha$.

Tam giác $MAN$ vuông tại $A$ có $\angle AMN=\alpha$ nên $\angle ANM=90^\circ-\alpha$, do đó
$$\angle MND=\angle MNB=90^\circ-\alpha. \qquad (3)$$

Theo giả thiết $MD\perp MA$ nên $\angle AMD=90^\circ$. Tia $MD$ nằm ngoài tia $MB$ (về phía $B$), nên
$$\angle BMD=\angle AMD-\angle AMB=90^\circ-2\alpha,$$
do đó
$$\angle NMD=\angle NMB+\angle BMD=\alpha+(90^\circ-2\alpha)=90^\circ-\alpha. \qquad (4)$$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\angle MND=\angle NMD$, nên tam giác $MND$ cân tại $D$, tức $DM=DN$.

Vậy $D$ cũng nằm trên đường trung trực của $MN$. Mà theo câu

b) cả $O$ và $C$ đều nằm trên đường trung trực của $MN$. Ba điểm $O$, $C$, $D$ cùng thuộc một đường thẳng (đường trung trực của $MN$), nên $O$, $C$, $D$ thẳng hàng. (đpcm)

Đáp số