Giải Bài 5.33 trang 72 SBT Toán 9

Lời giải

Vì $a$ tiếp xúc $(O)$ tại $A$ nên $OA \perp a$; vì $b$ tiếp xúc $(O)$ tại $B$ nên $OB \perp b$.

a) Chứng minh $AB$ là đường kính.

Ta có $OA \perp a$ và $a \parallel b$ nên $OA \perp b$. Mà $OB \perp b$. Qua điểm $O$ chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với $b$, nên hai đường thẳng $OA$ và $OB$ trùng nhau. Suy ra ba điểm $A$, $O$, $B$ thẳng hàng.

Do $OA = OB = R$ và $A$, $O$, $B$ thẳng hàng nên $O$ là trung điểm của $AB$. Vậy $AB$ là một đường kính của $(O)$ (đpcm).

b) Chứng minh $D \in (O)$, $P \in b$, $Q \in a$.

* $D$ đối xứng với $C$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $CD$, do đó $OD = OC = R$. Vậy $D \in (O)$.
* Xét phép đối xứng tâm $O$. Phép này biến đường thẳng $a$ thành một đường thẳng $a'$ song song với $a$ và đi qua ảnh của điểm $A$. Vì $O$ là trung điểm $AB$ nên ảnh của $A$ qua $O$ là $B$. Đường thẳng đi qua $B$ và song song với $a$ chính là $b$ (vì $b \parallel a$ và $B \in b$). Vậy phép đối xứng tâm $O$ biến $a$ thành $b$. Do $M \in a$ nên ảnh $P$ của $M$ thuộc $b$, tức $P \in b$.
* Tương tự, phép đối xứng tâm $O$ biến $b$ thành $a$. Do $N \in b$ nên ảnh $Q$ của $N$ thuộc $a$, tức $Q \in a$ (đpcm).

c) Chứng minh $PQ$ tiếp xúc $(O)$ tại $D$.

Do $P$, $Q$ lần lượt là ảnh của $M$, $N$ qua phép đối xứng tâm $O$, mà $M$, $N$ nằm trên đường thẳng $c$, nên đường thẳng $PQ$ là ảnh của đường thẳng $c$ qua phép đối xứng tâm $O$. Suy ra $PQ \parallel c$, tức $PQ \parallel MN$.

Vì $c$ tiếp xúc $(O)$ tại $C$ nên $OC \perp c$, do đó $OC \perp MN$. Lại có $D$ đối xứng với $C$ qua $O$ nên ba điểm $C$, $O$, $D$ thẳng hàng, suy ra $OD$ nằm trên đường thẳng $OC$. Vì $PQ \parallel MN$ và $OC \perp MN$ nên $OD \perp PQ$.

Mặt khác $OD = R$ (theo câu b, $D \in (O)$). Đường thẳng $PQ$ đi qua $D$, vuông góc với bán kính $OD$ tại $D$ nên $PQ$ tiếp xúc $(O)$ tại $D$ (đpcm).

d) Chứng minh $MNPQ$ là hình thoi.

*Chứng minh là hình bình hành:* $P$ đối xứng với $M$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $MP$; $Q$ đối xứng với $N$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $NQ$. Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $MNPQ$ là hình bình hành.

*Chứng minh hai đường chéo vuông góc:* Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ (nằm trên $a$) và $MC$ (nằm trên $c$) nên $MA = MC$ và $MO$ là tia phân giác của góc $\widehat{AMC}$. Từ $N$ kẻ hai tiếp tuyến $NB$ (nằm trên $b$) và $NC$ (nằm trên $c$) nên $NB = NC$ và $NO$ là tia phân giác của góc $\widehat{BNC}$.

Vì $a \parallel b$ và $MN$ là cát tuyến (đường thẳng $c$) nên hai góc trong cùng phía bù nhau: $\widehat{AMN} + \widehat{BNM} = 180^\circ$. Do $MO$, $NO$ là các tia phân giác nên $\widehat{OMC} + \widehat{ONC} = \dfrac{1}{2}\left(\widehat{AMN} + \widehat{BNM}\right) = 90^\circ$. Trong tam giác $OMN$ ta có $\widehat{MON} = 180^\circ - \left(\widehat{OMC} + \widehat{ONC}\right) = 90^\circ$.

Hai đường chéo $MP$, $NQ$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $OM$, $ON$ nên $MP \perp NQ$.

Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo vuông góc nên $MNPQ$ là hình thoi (đpcm).

Đáp số