Giải Bài 5.32 trang 72 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét ban đầu. Vì $AH$ là đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ nên khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $BC$ bằng đúng bán kính $AH$. Do đó $BC$ là một tiếp tuyến của đường tròn $(A;AH)$, với tiếp điểm chính là $H$.

Như vậy, từ $B$ có hai tiếp tuyến tới $(A;AH)$ là $BH$ và $BD$; từ $C$ có hai tiếp tuyến là $CH$ và $CE$.

a) Hai điểm $D$ và $E$ đối xứng với nhau qua $A$.

Xét hai tiếp tuyến $BD$ và $BH$ kẻ từ $B$. Ta có:
- $BD = BH$ (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ $B$);
- $AD = AH$ (cùng là bán kính);
- $AB$ là cạnh chung.

Suy ra $\triangle ABD = \triangle ABH$ (c.c.c), do đó $\widehat{DAB} = \widehat{HAB}$, nghĩa là $AB$ là tia phân giác của $\widehat{DAH}$:
$$\widehat{DAH} = 2\,\widehat{BAH}.$$

Tương tự, xét hai tiếp tuyến $CE$ và $CH$ kẻ từ $C$, ta có $\triangle ACE = \triangle ACH$ (c.c.c), nên $AC$ là tia phân giác của $\widehat{EAH}$:
$$\widehat{EAH} = 2\,\widehat{CAH}.$$

Vì tia $AH$ nằm giữa hai tia $AB$, $AC$ (do $H$ nằm giữa $B$ và $C$) nên:
$$\widehat{DAE} = \widehat{DAH} + \widehat{HAE} = 2\,\widehat{BAH} + 2\,\widehat{CAH} = 2\big(\widehat{BAH} + \widehat{CAH}\big) = 2\,\widehat{BAC} = 2\cdot 90^\circ = 180^\circ.$$

Vậy ba điểm $D$, $A$, $E$ thẳng hàng. Lại có $AD = AE = AH$, nên $A$ là trung điểm của $DE$. Do đó $D$ và $E$ đối xứng với nhau qua $A$ (đpcm).

b) $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; đường tròn đường kính $BC$ có tâm $M$ và bán kính $\dfrac{BC}{2}$.

Vì $BD$ là tiếp tuyến tại $D$ nên $BD \perp AD$, tức $BD \perp DE$. Vì $CE$ là tiếp tuyến tại $E$ nên $CE \perp AE$, tức $CE \perp DE$.

Suy ra $BD \parallel CE$ và cả hai cùng vuông góc với đường thẳng $DE$. Khi đó khoảng cách từ $B$ đến $DE$ bằng $BD$, khoảng cách từ $C$ đến $DE$ bằng $CE$, và $B$, $C$ nằm cùng một phía đối với $DE$.

Gọi $MK$ là khoảng cách từ $M$ đến $DE$ ($K \in DE$). Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $MK$ là đường trung bình của hình thang vuông $BDEC$:
$$MK = \frac{BD + CE}{2}.$$

Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $BD = BH$ và $CE = CH$, nên
$$BD + CE = BH + CH = BC.$$

Do đó
$$MK = \frac{BC}{2}.$$

Khoảng cách từ tâm $M$ đến đường thẳng $DE$ đúng bằng bán kính $\dfrac{BC}{2}$, nên $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$ (đpcm).

*(Nhận xét: vì $\widehat{BAC} = 90^\circ$ nên $A$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$; tiếp điểm của $DE$ với đường tròn này chính là điểm $A$.)*

Đáp số