Giải Bài 5.31 trang 71 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh $PO \perp AB$.

Vì $PA$ và $PB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $P$ nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
$$PA = PB.$$
Suy ra $P$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$.

Lại có $OA = OB$ (cùng bằng bán kính) nên $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $AB$.

Do đó đường thẳng $PO$ chính là đường trung trực của $AB$, suy ra $PO \perp AB$ (đpcm).

b) Chứng minh $BC \parallel PO$.

Gọi $H$ là giao điểm của $PO$ và $AB$. Theo câu a), $PO$ là trung trực của $AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$.

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ABC$ có:
- $H$ là trung điểm của cạnh $AB$,
- $O$ là trung điểm của cạnh $AC$.

Vậy $OH$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $OH \parallel BC$.

Mà $O$, $H$ đều nằm trên đường thẳng $PO$ nên $BC \parallel PO$ (đpcm).

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác $PAB$.

Vì $PA$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $PA \perp OA$, tam giác $OAP$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $OAP$:
$$PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \ (\text{cm}).$$
Do $PA = PB$ nên $PB = 4$ cm.

Gọi $H$ là giao điểm của $PO$ và $AB$ (theo câu a, $H$ là trung điểm $AB$ và $AH \perp PO$). Trong tam giác vuông $OAP$ đường cao $AH$ ứng với cạnh huyền $OP$, ta có:
$$AH \cdot OP = OA \cdot PA \ \Rightarrow\ AH = \dfrac{OA \cdot PA}{OP} = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = 2{,}4 \ (\text{cm}).$$
Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên:
$$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8 \ (\text{cm}).$$

Vậy tam giác $PAB$ có $PA = PB = 4$ cm và $AB = 4{,}8$ cm.

Đáp số