Giải Bài 5.30 trang 71 SBT Toán 9

Lời giải

## Hình vẽ và các yếu tố ban đầu

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{C} = 30^\circ$ nên $\widehat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Vì $BD$ là phân giác của góc $B$ nên:
$$\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ.$$

Tính $AD$: Trong tam giác $ABD$ vuông tại $A$, ta có:
$$AD = AB \cdot \tan\widehat{ABD} = 3 \cdot \tan 30^\circ = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Vậy bán kính đường tròn $(D; DA)$ là $R = DA = \sqrt{3}$ cm.

## a) Chứng minh $(D; DA)$ tiếp xúc với $BC$

Kẻ $DH \perp BC$ tại $H$.

Vì $AC \perp AB$ (do $\widehat{A} = 90^\circ$) nên $DA$ chính là khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AB$.

Điểm $D$ nằm trên tia phân giác của góc $B$, mà mọi điểm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó, nên:
$$DH = DA.$$

Suy ra khoảng cách từ tâm $D$ đến đường thẳng $BC$ bằng đúng bán kính:
$$d(D, BC) = DH = DA = R.$$

Vậy đường thẳng $BC$ tiếp xúc với đường tròn $(D; DA)$ (tiếp điểm là $H$). (đpcm)

##

b) Độ dài cung trong góc $BDC$ và diện tích hình quạt

Số đo góc ở tâm: Trong tam giác $ABD$ vuông tại $A$:
$$\widehat{ADB} = 90^\circ - \widehat{ABD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$$

Vì ba điểm $A$, $D$, $C$ thẳng hàng nên:
$$\widehat{BDC} = 180^\circ - \widehat{ADB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$$

Cung nằm trong góc $BDC$ ứng với góc ở tâm $n = 120^\circ$.

Độ dài cung:
$$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot \sqrt{3} \cdot 120}{180} = \dfrac{2\pi\sqrt{3}}{3} \approx 3{,}63\ (\text{cm}).$$

Diện tích hình quạt tròn:
$$S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{360} = \pi \approx 3{,}14\ (\text{cm}^2).$$

##

c) Diện tích hình vành khuyên tạo bởi $(D; DA)$ và $(D; DC)$

Tính $AC$: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$$AC = \dfrac{AB}{\tan\widehat{C}} = \dfrac{3}{\tan 30^\circ} = \dfrac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Tính $DC$: Vì $D$ nằm giữa $A$ và $C$ nên:
$$DC = AC - AD = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Hai đường tròn cùng tâm $D$ có bán kính $R_1 = DA = \sqrt{3}$ cm và $R_2 = DC = 2\sqrt{3}$ cm.

Diện tích hình vành khuyên:
$$S = \pi R_2^2 - \pi R_1^2 = \pi\left[(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2\right] = \pi(12 - 3) = 9\pi \approx 28{,}27\ (\text{cm}^2).$$

Đáp số