Giải Bài 5.29 trang 71 SBT Toán 9

Lời giải

## a) $A$ đối xứng với $B$, $C$ đối xứng với $D$ qua $OE$

• $OE$ là trung trực của $CD$.
Vì $E$ là trung điểm của dây $CD$ nên theo quan hệ giữa đường kính (bán kính) và dây, ta có $OE \perp CD$. Mặt khác $OE$ đi qua trung điểm $E$ của $CD$, do đó $OE$ là đường trung trực của $CD$ $\Rightarrow$ $C$ đối xứng với $D$ qua $OE$.

• $OE$ là trung trực của $AB$.
Vì $CD \parallel AB$ mà $OE \perp CD$ nên $OE \perp AB$.
Lại có $AB$ là đường kính nên $O$ là trung điểm của $AB$, và $O$ thuộc đường thẳng $OE$. Vậy $OE \perp AB$ tại trung điểm $O$ của $AB$, tức $OE$ là đường trung trực của $AB$ $\Rightarrow$ $A$ đối xứng với $B$ qua $OE$ (đpcm).

##

b) $ABCD$ là hình thang cân

Vì $AB \parallel CD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình thang (hai đáy $AB$ và $CD$).

Qua phép đối xứng trục $OE$ ta có $A \leftrightarrow B$ và $C \leftrightarrow D$. Do đó đường chéo $AC$ biến thành đường chéo $BD$, suy ra
$$AC = BD.$$
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Vậy $ABCD$ là hình thang cân (đpcm).

##

c) Tính độ dài cung nhỏ $AD$ và cung lớn $ABC$

Vì $AB$ là đường kính và $AB = 12$ cm nên bán kính
$$R = \frac{AB}{2} = 6 \text{ cm}.$$

Số đo cung $CD$ bằng góc ở tâm: $\overset{\frown}{CD} = \widehat{COD} = 100°$.

Do $ABCD$ là hình thang cân nên theo tính chất đối xứng: $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$.
Cung nửa đường tròn chứa $C,D$ (đi từ $A$ qua $D,C$ đến $B$) có số đo $180°$, gồm:
$$\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DC} + \overset{\frown}{CB} = 180° \Rightarrow 2\,\overset{\frown}{AD} + 100° = 180°.$$
Suy ra $\overset{\frown}{AD} = 40°$ (và $\overset{\frown}{BC} = 40°$).

Độ dài cung nhỏ $AD$:
$$\ell_{AD} = \frac{\pi R \cdot n}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 40}{180} = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19 \text{ cm}.$$

Cung lớn $ABC$ (đi từ $A$ qua $B$ đến $C$) có số đo:
$$\overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 180° + 40° = 220°.$$
Độ dài:
$$\ell_{ABC} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 220}{180} = \frac{22\pi}{3} \approx 23{,}04 \text{ cm}.$$

##

d) Diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ $BD$

Số đo cung nhỏ $BD$ (đi từ $B$ qua $C$ đến $D$):
$$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 40° + 100° = 140°.$$
Vậy góc ở tâm $\widehat{BOD} = 140°$.

Diện tích hình quạt tròn:
$$S = \frac{\pi R^2 \cdot n}{360} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 140}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 140}{360} = 14\pi \approx 43{,}98 \text{ cm}^2.$$

Đáp số