Giải Bài 5.28 trang 71 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh đường trung trực $d$ của $AB$ cũng là đường trung trực của $CD$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, khi đó đường trung trực $d$ của $AB$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.

Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB \parallel CD$) nên ta có:
- Hai cạnh bên bằng nhau: $AD = BC$;
- Hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau: $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$.

Xét hai tam giác $MAD$ và $MBC$ có:
- $MA = MB$ (vì $M$ là trung điểm $AB$);
- $\widehat{MAD} = \widehat{MBC}$ (chính là $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$);
- $AD = BC$ (cạnh bên hình thang cân).

Do đó $\triangle MAD = \triangle MBC$ (c.g.c), suy ra $MD = MC$.

Vậy $M$ cách đều hai điểm $C$ và $D$, nên $M$ nằm trên đường trung trực của $CD$.

Mặt khác, vì $d \perp AB$ mà $AB \parallel CD$ nên $d \perp CD$.

Như vậy $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ (điểm cách đều $C$ và $D$) và vuông góc với $CD$. Đường thẳng vuông góc với $CD$ hạ từ điểm $M$ cách đều $C,D$ sẽ cắt $CD$ tại trung điểm $N$ của $CD$. Do đó $d$ chính là đường trung trực của $CD$ (đpcm).

Vì $d$ vừa là trung trực của $AB$, vừa là trung trực của $CD$ nên $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua $d$, đồng thời $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

b) Nếu một đường tròn đi qua 3 điểm $A$, $B$, $C$ thì nó cũng đi qua $D$.

Gọi $O$ là tâm của đường tròn đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ và $R$ là bán kính của nó. Khi đó:
$$OA = OB = OC = R.$$

Vì $OA = OB$ nên $O$ cách đều $A$ và $B$, suy ra $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$, tức là $O \in d$.

Theo câu a), $d$ cũng là đường trung trực của $CD$, mà mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút. Do đó:
$$OC = OD.$$

Kết hợp $OC = R$, ta được $OD = R$.

Vậy điểm $D$ cũng cách tâm $O$ một khoảng bằng $R$, nghĩa là $D$ nằm trên đường tròn đó (đpcm).

Đáp số