Giải Bài 5.27 trang 71 SBT Toán 9

Lời giải

a) Vị trí của $B$, $H$, $C$ đối với đường tròn $(A;AB)$

Đường tròn $(A;AB)$ có tâm $A$, bán kính $R=AB$. Để xét vị trí một điểm $M$ ta so sánh khoảng cách $AM$ với $R=AB$.

- Điểm $B$: $AB = R$ nên $B$ nằm trên đường tròn $(A;AB)$.

- Điểm $H$: Vì $AH$ là đường cao nên $AH \perp BC$ tại $H$. Trong tam giác vuông $ABH$ (vuông tại $H$), cạnh $AB$ là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất:
$$AH < AB = R.$$
Do $AH < R$ nên $H$ nằm trong đường tròn $(A;AB)$.

- Điểm $C$: Theo giả thiết $AC > AB = R$. Do $AC > R$ nên $C$ nằm ngoài đường tròn $(A;AB)$.

Kết luận: $H$ nằm trong, $B$ nằm trên, $C$ nằm ngoài đường tròn $(A;AB)$.

b) Xác định vị trí điểm $D$ trên đoạn $AC$

Hai đường tròn là $(A)=(A;AB)$ bán kính $R_1=AB$ và $(C;CD)$ bán kính $R_2=CD$. Hai tâm $A$, $C$ cách nhau một khoảng
$$AC = d \quad (\text{không đổi}).$$
Vì $D$ nằm trên đoạn $AC$ nên $AD + CD = AC$, suy ra $CD = AC - AD$.

Ta so sánh $d=AC$ với $R_1+R_2$ và $|R_1-R_2|$.

Vì $R_1 = AB < AC$ và $R_2 = CD \le AC$ nên luôn có $|R_1-R_2| < AC$. Do đó hai đường tròn không bao giờ ở trường hợp đựng nhau/tiếp xúc trong; chỉ còn phụ thuộc vào việc so sánh $AC$ với $R_1+R_2 = AB + CD$.

Mà $AB + CD = AB + (AC - AD)$, nên:
$$AC \ \text{so với}\ AB+CD \iff AD \ \text{so với}\ AB.$$

• Hai đường tròn tiếp xúc nhau (tiếp xúc ngoài): $AC = R_1+R_2 = AB + CD$.
$$AC = AB + (AC-AD) \Rightarrow AD = AB.$$
Vậy $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $AD = AB$ (chính là giao điểm của đường tròn $(A;AB)$ với cạnh $AC$).

• Hai đường tròn cắt nhau: $|R_1-R_2| < AC < R_1+R_2$, tức $AC < AB + CD$.
$$AC < AB + (AC-AD) \Rightarrow AD < AB.$$
Vậy $D$ nằm giữa $A$ và điểm có $AD=AB$ (tức $0 < AD < AB$).

• Hai đường tròn không giao nhau (ở ngoài nhau): $AC > R_1+R_2 = AB+CD$.
$$AC > AB + (AC-AD) \Rightarrow AD > AB.$$
Vậy $D$ nằm giữa điểm có $AD=AB$ và $C$ (tức $AB < AD < AC$).

Kết luận: Gọi $E$ là điểm trên $AC$ với $AE = AB$. Khi đó:
- Tiếp xúc khi $D\equiv E$ ($AD=AB$);
- Cắt nhau khi $D$ nằm giữa $A$ và $E$ ($AD<AB$);
- Không giao nhau khi $D$ nằm giữa $E$ và $C$ ($AD>AB$).

Đáp số