Giải Bài 5.26 trang 68 SBT Toán 9

Lời giải

a) Hai đường tròn $(B;BA)$ và $(C;CA)$ cắt nhau.

Hai đường tròn có:
- Tâm $B$, bán kính $R = BA$.
- Tâm $C$, bán kính $r = CA$.
- Khoảng cách hai tâm là $d = BC$.

Vì $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:

$$|BA - CA| < BC < BA + CA,$$

tức là $|R - r| < d < R + r$.

Đây đúng là điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Hai đường tròn cùng đi qua điểm $A$, nên ngoài $A$ chúng còn một giao điểm thứ hai; gọi đó là $A'$. (đpcm)

b) $A$ và $A'$ đối xứng nhau qua $BC$.

Vì $A$ và $A'$ đều nằm trên đường tròn $(B;BA)$ nên $BA = BA'$, suy ra $B$ cách đều $A$ và $A'$.

Vì $A$ và $A'$ đều nằm trên đường tròn $(C;CA)$ nên $CA = CA'$, suy ra $C$ cách đều $A$ và $A'$.

Vậy $B$ và $C$ cùng nằm trên đường trung trực của đoạn $AA'$. Do đó đường thẳng $BC$ chính là đường trung trực của $AA'$, nghĩa là $BC$ vuông góc với $AA'$ tại trung điểm của $AA'$.

Suy ra $A$ và $A'$ đối xứng nhau qua $BC$. (đpcm)

c) Tính $BC$ khi $AA' = 24$ cm, $AB = 15$ cm, $AC = 13$ cm.

Gọi $H$ là giao điểm của $AA'$ và $BC$. Theo câu b), $BC$ là trung trực của $AA'$ nên:

$$AH \perp BC \quad\text{và}\quad AH = \dfrac{AA'}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 \text{ (cm)}.$$

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ (cm)}.$$

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore:

$$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ (cm)}.$$

Có hai trường hợp về vị trí của $H$ trên đường thẳng $BC$:

- Trường hợp 1: $H$ nằm giữa $B$ và $C$ (tam giác có các góc $B$, $C$ nhọn):
$$BC = BH + CH = 9 + 5 = 14 \text{ (cm)}.$$

- Trường hợp 2: $H$ nằm ngoài đoạn $BC$ (tam giác tù tại $C$):
$$BC = BH - CH = 9 - 5 = 4 \text{ (cm)}.$$

Thử lại: với $BC = 14$ hay $BC = 4$, kết hợp $AB = 15$, $AC = 13$ đều thỏa mãn bất đẳng thức tam giác và cho chiều cao hạ từ $A$ bằng $12$ cm (vì $AA' = 24$), nên cả hai giá trị đều nhận được.

Vậy $BC = 14$ cm hoặc $BC = 4$ cm.

Đáp số