Giải Bài 5.25 trang 68 SBT Toán 9

Lời giải

a) Vị trí tương đối của hai đường tròn $(I)$ và $(A)$

Đặt $AB = 2a$ $(a > 0)$. Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $IA = IB = a$.

- Đường tròn $(I; IB)$ có bán kính $r_1 = IB = a$.
- Đường tròn $(A; AB)$ có bán kính $r_2 = AB = 2a$.
- Khoảng cách hai tâm: $d = AI = a$.

Ta có:
$$r_2 - r_1 = 2a - a = a = d.$$

Vì khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính nên hai đường tròn $(I)$ và $(A)$ tiếp xúc trong.

Điểm tiếp xúc chính là $B$, vì $IB = a = r_1$ và $AB = 2a = r_2$ nên $B$ nằm trên cả hai đường tròn.

Vậy hai đường tròn $(I)$ và $(A)$ tiếp xúc trong tại $B$.

b) So sánh $BC$ và $CD$

Vì $IA = IB$ nên $AB$ là đường kính của đường tròn $(I)$.

Điểm $C$ thuộc đường tròn $(I)$ nên $C$ nhìn đường kính $AB$ dưới một góc vuông:
$$\widehat{ACB} = 90^\circ \;\Rightarrow\; AC \perp BD \text{ tại } C.$$

Xét đường tròn $(A; AB)$: vì $B$ và $D$ cùng thuộc đường tròn $(A)$ nên
$$AB = AD \;(= 2a),$$
suy ra tam giác $ABD$ cân tại $A$.

Trong tam giác cân $ABD$, $AC$ là đường cao ứng với cạnh đáy $BD$ (do $AC \perp BD$), nên $AC$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $C$ là trung điểm của $BD$, tức là:
$$BC = CD.$$

Vậy $BC = CD$.

Đáp số