Giải Bài 5.24 trang 68 SBT Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh đường tròn $(A; 2R)$ cắt đường tròn $(O; R)$.

Xét hai đường tròn $(A; 2R)$ và $(O; R)$ có khoảng cách giữa hai tâm là $OA$.

Hai đường tròn cắt nhau (tại hai điểm) khi và chỉ khi:
$$|R_1 - R_2| < OA < R_1 + R_2,$$
trong đó $R_1 = 2R$, $R_2 = R$.

Ta có:
$$|2R - R| = R \quad\text{và}\quad 2R + R = 3R.$$

Điều kiện trở thành: $R < OA < 3R$.

Theo giả thiết, $R < OA < 3R$, nên điều kiện trên được thỏa mãn. Vậy đường tròn $(A; 2R)$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại hai điểm phân biệt (đpcm).

Gọi $B$ là một trong hai giao điểm đó. Khi đó:
- $B$ thuộc $(O; R)$ nên $OB = R$;
- $B$ thuộc $(A; 2R)$ nên $AB = 2R$.

b) Chứng minh $AD = DC$.

Vì $C$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $BC$, suy ra $OB = OC = R$ và $BC = 2R$. Do $B,\ C$ cùng thuộc $(O; R)$ và $O$ là trung điểm $BC$ nên $BC$ là một đường kính của đường tròn $(O)$.

Điểm $D$ thuộc đường tròn $(O)$ và nhìn đường kính $BC$ dưới một góc, nên:
$$\widehat{BDC} = 90^\circ$$
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó $BD \perp DC$, tức là $BD \perp AC$.

Xét tam giác $ABC$ có:
$$AB = 2R \quad\text{(vì } B \in (A; 2R)\text{)}, \qquad BC = 2R \quad\text{(đường kính)}.$$
Vậy $AB = BC = 2R$, nên tam giác $ABC$ cân tại $B$.

Trong tam giác cân $ABC$ (cân tại $B$), $BD$ là đường cao hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh đáy $AC$ (vì $BD \perp AC$). Mà trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy cũng đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Do đó $D$ là trung điểm của $AC$.

Vậy $AD = DC$ (đpcm).

Đáp số