Giải Bài 5.23 trang 68 SBT Toán 9

Lời giải

Nhắc lại đề Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại điểm $H$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$.

a) Chứng minh tứ giác $ACED$ là hình thoi.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $BC$. Chứng minh rằng điểm $I$ thuộc đường tròn đường kính $EB$.

Vẽ hình. Vẽ đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $H$ trên $AB$, qua $H$ kẻ dây $CD\perp AB$ (điểm $C$ ở phía trên, $D$ ở phía dưới $AB$); vì $OH\perp CD$ nên $H$ là trung điểm của $CD$. Lấy $E$ đối xứng với $A$ qua $H$ (tức $H$ là trung điểm của $AE$) trên đường thẳng $AB$. Nối $AC,\,CB,\,DE$; đường thẳng $DE$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ đường tròn đường kính $EB$ (tâm là trung điểm của $EB$).

b) Chứng minh $I$ thuộc đường tròn đường kính $EB$.

- Theo phần a), tứ giác $ACED$ là hình thoi (hai đường chéo $AE$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường và vuông góc với nhau). Do đó hai cạnh đối diện song song: $$DE\parallel AC. \qquad (1)$$

- Điểm $C$ nằm trên đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $$AC\perp CB. \qquad (2)$$

- Từ $(1)$ và $(2)$: vì $DE\parallel AC$ và $AC\perp CB$ nên $DE\perp CB$.

- Mà $I$ là giao điểm của $DE$ và $BC$, nên tại $I$ ta có $DE\perp IB$, tức là $$\widehat{EIB}=90^\circ.$$

- Tam giác $EIB$ vuông tại $I$ nên $I$ nằm trên đường tròn nhận cạnh huyền $EB$ làm đường kính.

Vậy điểm $I$ thuộc đường tròn đường kính $EB$ (đpcm).

Đáp số