Giải Bài 9.49 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và nội tiếp đường tròn bán kính $R = 5$ cm nên cạnh huyền $BC$ chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp:

$$BC = 2R = 2 \cdot 5 = 10 \ (\text{cm}).$$

Đặt $AB = c$, $AC = b$ là hai cạnh góc vuông.

Diện tích tam giác vuông:
$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 24 \ \Rightarrow\ \frac{1}{2} bc = 24 \ \Rightarrow\ bc = 48.$$

Theo định lí Pythagore:
$$b^2 + c^2 = BC^2 = 10^2 = 100.$$

Suy ra:
$$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 100 + 2 \cdot 48 = 196 \ \Rightarrow\ b + c = 14 \ (\text{cm}).$$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Với tam giác vuông tại $A$, bán kính đường tròn nội tiếp bằng:
$$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{b + c - BC}{2}.$$

Thay số:
$$r = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại: Ta có thể tính $r$ theo công thức $S = pr$ với $p$ là nửa chu vi. Nửa chu vi $p = \dfrac{b + c + BC}{2} = \dfrac{14 + 10}{2} = 12$ (cm). Khi đó $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{24}{12} = 2$ (cm). Kết quả trùng khớp.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $2$ cm.

Đáp số