Giải Bài 9.48 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi tam giác vuông cân là $ABC$ vuông tại $A$ ($AB = AC$), nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R = 4$ cm.

Bước 1. Xác định cạnh huyền.

Vì $\widehat{BAC} = 90^\circ$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ nên $BC$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Do đó:
$$BC = 2R = 2 \cdot 4 = 8 \ (\text{cm}).$$

Bước 2. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$. Áp dụng định lí Pythagore:
$$AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow 2AB^2 = 8^2 = 64 \Rightarrow AB^2 = 32.$$
Vậy $AB = AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ (cm).

Bước 3. Tính diện tích tam giác.

$$S = \frac{1}{2}\, AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \ (\text{cm}^2).$$

Kiểm tra lại: Cạnh huyền $BC = 8$ cm là đường kính, đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ bằng trung tuyến ứng với cạnh huyền và bằng bán kính $R = 4$ cm. Khi đó $S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ (cm$^2$). Kết quả trùng khớp.

Vậy diện tích tam giác vuông cân cần tìm là $16 \ \text{cm}^2$.

Đáp số