Giải Bài 6.13 trang 7 SBT Toán 8

Lời giải

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức $\dfrac{1}{x^2y};\ \dfrac{1}{y^2z};\ \dfrac{1}{z^2x}$.

Các mẫu thức là $x^2y,\ y^2z,\ z^2x$. Mẫu thức chung (MTC) là tích các lũy thừa với số mũ lớn nhất của mỗi biến:
$$\text{MTC} = x^2y^2z^2.$$

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu bằng cách lấy MTC chia cho mẫu đó:

- $\dfrac{x^2y^2z^2}{x^2y} = yz^2$
- $\dfrac{x^2y^2z^2}{y^2z} = x^2z$
- $\dfrac{x^2y^2z^2}{z^2x} = xy^2$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng:

$$\dfrac{1}{x^2y} = \dfrac{1\cdot yz^2}{x^2y\cdot yz^2} = \dfrac{yz^2}{x^2y^2z^2};$$

$$\dfrac{1}{y^2z} = \dfrac{1\cdot x^2z}{y^2z\cdot x^2z} = \dfrac{x^2z}{x^2y^2z^2};$$

$$\dfrac{1}{z^2x} = \dfrac{1\cdot xy^2}{z^2x\cdot xy^2} = \dfrac{xy^2}{x^2y^2z^2}.$$

b) Quy đồng mẫu thức các phân thức $\dfrac{1}{1-x};\ \dfrac{1}{x+1};\ \dfrac{1}{x^2+1}$.

Các mẫu thức $1-x,\ x+1,\ x^2+1$ đều là các đa thức khác nhau và không phân tích được thành nhân tử chung nào, nên mẫu thức chung là tích của cả ba mẫu:
$$\text{MTC} = (1-x)(x+1)(x^2+1).$$

(Có thể rút gọn: $(1-x)(x+1) = 1-x^2$, nên MTC $= (1-x^2)(x^2+1) = 1-x^4$.)

Nhân tử phụ của mỗi mẫu là MTC chia cho mẫu đó:

- Phân thức $\dfrac{1}{1-x}$ có nhân tử phụ $(x+1)(x^2+1)$:
$$\dfrac{1}{1-x} = \dfrac{(x+1)(x^2+1)}{(1-x)(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{x^3+x^2+x+1}{(1-x)(x+1)(x^2+1)};$$

- Phân thức $\dfrac{1}{x+1}$ có nhân tử phụ $(1-x)(x^2+1)$:
$$\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(1-x)(x^2+1)}{(1-x)(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{-x^3+x^2-x+1}{(1-x)(x+1)(x^2+1)};$$

- Phân thức $\dfrac{1}{x^2+1}$ có nhân tử phụ $(1-x)(x+1)$:
$$\dfrac{1}{x^2+1} = \dfrac{(1-x)(x+1)}{(1-x)(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{1-x^2}{(1-x)(x+1)(x^2+1)}.$$

Kiểm tra: ở câu a, $x^2y\cdot yz^2 = y^2z\cdot x^2z = z^2x\cdot xy^2 = x^2y^2z^2$ (đúng); ở câu b, ba phân thức đều có mẫu chung $(1-x)(x+1)(x^2+1) = 1-x^4$ (đúng).

Đáp số