Giải Bài 6.6 trang 6 SBT Toán 8

Lời giải

Điều kiện: $x\neq 1$ (để phân thức $\dfrac{x^4-1}{x-1}$ có nghĩa).

Bước 1. Phân tích tử thức $x^4-1$ thành nhân tử để làm xuất hiện nhân tử chung $(x-1)$ với mẫu thức.

$$x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).$$

Mặt khác:

$$(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1.$$

Do đó:

$$x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1).$$

Bước 2. Thay vào phân thức rồi dùng tính chất cơ bản của phân thức (chia cả tử và mẫu cho cùng một đa thức khác $0$ là $x-1$, vì $x\neq 1$):

$$\dfrac{x^4-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x^3+x^2+x+1)}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x^3+x^2+x+1):(x-1)}{(x-1):(x-1)}=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{1}=x^3+x^2+x+1.$$

Vậy $\dfrac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1$ (đpcm).

Kiểm tra lại (thử với $x=2$): vế trái $=\dfrac{2^4-1}{2-1}=\dfrac{15}{1}=15$; vế phải $=2^3+2^2+2+1=8+4+2+1=15$. Hai vế bằng nhau, khẳng định đúng.

Đáp số