Giải Bài 6.24 trang 10 SBT Toán 8

Lời giải

a) Rút gọn biểu thức $P$.

Điều kiện: $x \neq 0,\ x \neq 1$.

Phân tích các mẫu thức:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1);\qquad x^2-x=x(x-1).$$

Mẫu thức $x^2+x+1$ không phân tích được thêm (và luôn khác $0$). Vậy mẫu thức chung là

$$x(x-1)(x^2+x+1).$$

Quy đồng từng phân thức:

$$\frac{x^2+2x}{x^3-1}=\frac{x(x^2+2x)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^3+2x^2}{x(x-1)(x^2+x+1)};$$

$$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x^2+x+1}{x(x-1)(x^2+x+1)};$$

$$\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{x(x-1)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2-x}{x(x-1)(x^2+x+1)}.$$

Do đó:

$$P=\frac{(x^3+2x^2)-(x^2+x+1)-(x^2-x)}{x(x-1)(x^2+x+1)}.$$

Rút gọn tử thức:

$$x^3+2x^2-x^2-x-1-x^2+x=x^3-1.$$

Suy ra:

$$P=\frac{x^3-1}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{x}.$$

Vậy $P=\dfrac{1}{x}$ (với $x\neq 0,\ x\neq 1$).

*Kiểm tra với $x=2$:* $\dfrac{8}{7}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x}$. ✓

b) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $P$ nguyên.

Ta có $P=\dfrac{1}{x}$. Với $x$ nguyên, $P=\dfrac{1}{x}$ nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $x$ là ước của $1$, tức là $x\in\{1;\,-1\}$.

Mà theo điều kiện $x\neq 1$, nên loại $x=1$. Chỉ còn $x=-1$ (thỏa mãn $x\neq 0,\ x\neq 1$), khi đó $P=\dfrac{1}{-1}=-1$ là số nguyên.

Vậy chỉ có đúng một giá trị nguyên của $x$ là $x=-1$ để $P$ cũng nhận giá trị nguyên (đpcm).

Đáp số