Giải Bài 6.23 trang 10 SBT Toán 8

Lời giải

## a) Rút gọn phân thức

Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách nhóm:

$$x^3-3x^2-x+3 = x^2(x-3)-(x-3) = (x-3)(x^2-1) = (x-3)(x-1)(x+1).$$

Tử thức: $2x-6 = 2(x-3)$.

Do đó (với $x\neq 3,\,x\neq 1,\,x\neq -1$):

$$\dfrac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3} = \dfrac{2(x-3)}{(x-3)(x-1)(x+1)} = \dfrac{2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2}{x^2-1}.$$

##

b) Chứng tỏ $P = a + \dfrac{b}{x-3}$

Thay kết quả câu a) vào $P$:

$$P = \dfrac{2}{x^2-1} + \dfrac{2x^2}{1-x^2} - \dfrac{6}{x-3}.$$

Vì $1-x^2 = -(x^2-1)$ nên $\dfrac{2x^2}{1-x^2} = -\dfrac{2x^2}{x^2-1}$. Cộng hai phân thức đầu (cùng mẫu $x^2-1$):

$$\dfrac{2}{x^2-1} - \dfrac{2x^2}{x^2-1} = \dfrac{2-2x^2}{x^2-1} = \dfrac{-2(x^2-1)}{x^2-1} = -2.$$

Vậy:

$$P = -2 - \dfrac{6}{x-3}.$$

Đây là biểu thức dạng $P = a + \dfrac{b}{x-3}$ với $a=-2$ và $b=-6$ là những hằng số (đpcm).

##

c) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ nguyên

Ta có $P = -2 - \dfrac{6}{x-3}$. Vì $-2$ là số nguyên nên với $x$ nguyên, $P$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{6}{x-3}$ là số nguyên, tức là $x-3$ là ước của $6$:

$$x-3 \in \{\pm 1;\ \pm 2;\ \pm 3;\ \pm 6\}.$$

Suy ra $x \in \{4;\ 2;\ 5;\ 1;\ 6;\ 0;\ 9;\ -3\}$.

Đối chiếu điều kiện $x\neq 3,\,x\neq 1,\,x\neq -1$: loại $x=1$. Các giá trị còn lại đều thỏa mãn.

Vậy tập hợp các giá trị nguyên cần tìm là:

$$\{-3;\ 0;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 9\}.$$

Đáp số