Giải Bài 6.21 trang 10 SBT Toán 8

Lời giải

a) Vì $a,b,c\neq 0$ nên $abc\neq 0$, ta quy đồng ba phân thức về cùng mẫu $abc$:

$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{c}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}=\frac{a+b+c}{abc}.$$

Theo giả thiết $a+b+c=0$, do đó tử số bằng $0$, suy ra

$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{0}{abc}=0.$$

Vậy nếu $a,b,c\neq 0$ và $a+b+c=0$ thì $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=0$ (đpcm).

b) Đặt $a=x-y,\; b=y-z,\; c=z-x.$

Vì $x\neq y,\; y\neq z,\; z\neq x$ nên $a\neq 0,\; b\neq 0,\; c\neq 0$. Mặt khác:

$$a+b+c=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0.$$

Khi đó biểu thức cần chứng minh chính là $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}$, mà theo câu a) (với $a,b,c\neq 0$ và $a+b+c=0$) thì tổng này bằng $0$.

Trình bày trực tiếp: quy đồng về mẫu chung $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$:

$$\frac{1}{(x-y)(y-z)}+\frac{1}{(y-z)(z-x)}+\frac{1}{(z-x)(x-y)}=\frac{(z-x)+(x-y)+(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}.$$

Tử số: $(z-x)+(x-y)+(y-z)=0$, nên cả biểu thức bằng

$$\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0.$$

Vậy với $x\neq y,\;y\neq z,\;z\neq x$ thì $\dfrac{1}{(x-y)(y-z)}+\dfrac{1}{(y-z)(z-x)}+\dfrac{1}{(z-x)(x-y)}=0$ (đpcm).

Đáp số