Giải Bài 1.23 trang 15 SBT Toán 8

Lời giải

## a) $(x - y)(y + z)(z + x) + (x + y)(y - z)(z + x) + (x + y)(y + z)(z - x)$

Khai triển từng tích.

Tích thứ nhất: $(x-y)(y+z)(z+x)$

$(x-y)(y+z)=xy+xz-y^2-yz$

$(xy+xz-y^2-yz)(z+x)=x^2y+x^2z+xz^2-xy^2-y^2z-yz^2$

(các hạng tử $xyz$ triệt tiêu nhau).

Tích thứ hai: $(x+y)(y-z)(z+x)$

$(x+y)(y-z)=xy-xz+y^2-yz$

$(xy-xz+y^2-yz)(z+x)=x^2y-x^2z-xz^2+xy^2+y^2z-yz^2$

Tích thứ ba: $(x+y)(y+z)(z-x)$

$(x+y)(y+z)=xy+xz+y^2+yz$

$(xy+xz+y^2+yz)(z-x)=-x^2y-x^2z+xz^2-xy^2+y^2z+yz^2$

Cộng ba kết quả, gom hạng tử đồng dạng:

$$\begin{aligned}&x^2y:\ 1+1-1=1\\&x^2z:\ 1-1-1=-1\\&xz^2:\ 1-1+1=1\\&xy^2:\ -1+1-1=-1\\&y^2z:\ -1+1+1=1\\&yz^2:\ -1-1+1=-1\end{aligned}$$

Do đó tổng bằng

$$x^2y-x^2z+xz^2-xy^2+y^2z-yz^2.$$

Phân tích thành nhân tử (nhóm theo $(y-z)$):

$$x^2(y-z)-x(y^2-z^2)+yz(y-z)=(y-z)\big[x^2-x(y+z)+yz\big]$$

$$=(y-z)(x-y)(x-z).$$

Vậy biểu thức rút gọn là $(x-y)(x-z)(y-z)$.

Thử lại với $x=2,\ y=1,\ z=0$: biểu thức gốc $=1\cdot1\cdot2+3\cdot1\cdot2+3\cdot1\cdot(-2)=2$; còn $(x-y)(x-z)(y-z)=1\cdot2\cdot1=2$. Khớp.

##

b) $(2x + y)(2y + z)(2z + x) - (2x - y)(2y - z)(2z - x)$

Khai triển $A=(2x+y)(2y+z)(2z+x)$:

$(2x+y)(2y+z)=4xy+2xz+2y^2+yz$

$(4xy+2xz+2y^2+yz)(2z+x)=4x^2y+2x^2z+2xy^2+4xz^2+4y^2z+2yz^2+9xyz$

Khai triển $B=(2x-y)(2y-z)(2z-x)$:

$(2x-y)(2y-z)=4xy-2xz-2y^2+yz$

$(4xy-2xz-2y^2+yz)(2z-x)=-4x^2y+2x^2z+2xy^2-4xz^2-4y^2z+2yz^2+7xyz$

Lấy $A-B$, gom hạng tử đồng dạng:

$$\begin{aligned}&x^2y:\ 4-(-4)=8\\&x^2z:\ 2-2=0\\&xy^2:\ 2-2=0\\&xz^2:\ 4-(-4)=8\\&y^2z:\ 4-(-4)=8\\&yz^2:\ 2-2=0\\&xyz:\ 9-7=2\end{aligned}$$

Do đó

$$A-B=8x^2y+8y^2z+8z^2x+2xyz=2\big(4x^2y+4y^2z+4z^2x+xyz\big).$$

Thử lại với $x=y=z=1$: $A=27,\ B=1$, nên $A-B=26$; còn $8+8+8+2=26$. Khớp.

Vậy biểu thức rút gọn là $2\big(4x^2y+4y^2z+4z^2x+xyz\big)$.

Đáp số