Giải Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 8

Lời giải

Phân tích yêu cầu. Mỗi hạng tử của $Q$ là một đơn thức ba biến $x,\,y,\,z$ có hệ số bằng $1$ và có bậc $3$ (tức tổng số mũ của $x,\,y,\,z$ bằng $3$). Vì $Q$ đã thu gọn nên các hạng tử phải khác nhau (không có hạng tử đồng dạng).

Liệt kê tất cả đơn thức hệ số $1$, bậc $3$ với ba biến $x,\,y,\,z$. Gọi các số mũ của $x,\,y,\,z$ lần lượt là $a,\,b,\,c$ (các số tự nhiên) với $a+b+c=3$. Ta xét ba trường hợp:

a) Một biến mũ $3$ (dạng $a=3,\,b=c=0$): có $3$ đơn thức
$$x^3,\quad y^3,\quad z^3.$$

b) Một biến mũ $2$, một biến mũ $1$ (dạng $2+1+0$): chọn biến mũ $2$ có $3$ cách, chọn biến mũ $1$ trong hai biến còn lại có $2$ cách, được $3\cdot 2=6$ đơn thức
$$x^2y,\quad x^2z,\quad xy^2,\quad y^2z,\quad xz^2,\quad yz^2.$$

c) Ba biến đều mũ $1$ (dạng $1+1+1$): có $1$ đơn thức
$$xyz.$$

Tổng cộng số đơn thức khác nhau là $3+6+1=10$. Như vậy có đúng $10$ đơn thức thỏa mãn, nên đa thức $Q$ thu gọn gồm $10$ hạng tử buộc phải là tổng của toàn bộ các đơn thức đó.

Kết luận.
$$Q=x^3+y^3+z^3+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2+xyz.$$

Kiểm tra lại. $Q$ có $10$ hạng tử, đôi một khác nhau (đã thu gọn); mỗi hạng tử có hệ số $1$ và tổng số mũ đều bằng $3$. Vậy $Q$ thỏa mãn mọi điều kiện của đề bài.

Đáp số