Giải Bài 6.6 trang 8 SBT Toán 11

Lời giải

Đặt ẩn phụ để đưa về lũy thừa số mũ hữu tỉ. Vì $a,b>0$, đặt $x=a^{\frac14}>0$ và $y=b^{\frac14}>0$ (do $a\neq b$ nên $x\neq y$). Khi đó:

$$a=x^4,\quad b=y^4,\quad a^{\frac12}=x^2,\quad b^{\frac12}=y^2,\quad a^{\frac34}=x^3,\quad b^{\frac14}=y.$$

Bước 1. Rút gọn phân thức thứ nhất.

Tử: $a-b=x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.

Mẫu: $a^{\frac34}+a^{\frac12}b^{\frac14}=x^3+x^2y=x^2(x+y)$.

$$\frac{a-b}{a^{\frac34}+a^{\frac12}b^{\frac14}}=\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)}=\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}.$$

Bước 2. Rút gọn phân thức thứ hai.

$$\frac{a^{\frac12}-b^{\frac12}}{a^{\frac14}+b^{\frac14}}=\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y.$$

Bước 3. Trừ hai phân thức trong ngoặc vuông.

$$\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}-(x-y)=(x-y)\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}-1\right)=(x-y)\cdot\frac{y^2}{x^2}.$$

Bước 4. Chia cho $\left(a^{\frac14}-b^{\frac14}\right)=x-y$.

$$A=\frac{(x-y)\dfrac{y^2}{x^2}}{x-y}=\frac{y^2}{x^2}.$$

Bước 5. Trở lại biến $a,b$. Vì $y^2=b^{\frac12}$ và $x^2=a^{\frac12}$ nên

$$A=\frac{b^{\frac12}}{a^{\frac12}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac12}=\sqrt{\frac{b}{a}}.$$

Kiểm tra lại (thử số). Lấy $a=16,\ b=1$ (tức $x=2,\ y=1$): phân thức thứ nhất $=\dfrac{15}{8+4}=1{,}25$; phân thức thứ hai $=\dfrac{3}{3}=1$; trong ngoặc $=0{,}25$; chia cho $x-y=1$ được $0{,}25$. Trong khi $\sqrt{b/a}=\sqrt{1/16}=0{,}25$. Khớp đáp số.

Vậy $A=\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{b^{\frac12}}{a^{\frac12}}$.

Đáp số