Giải Bài 6.26 trang 15 SBT Toán 11

Lời giải

Tập xác định. Cả hai hàm $\sinh x=\dfrac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)$ và $\cosh x=\dfrac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ đều xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$. Tập $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng, nghĩa là với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$.

a) Chứng minh $\sinh x$ là hàm số lẻ.

Với mọi $x\in\mathbb{R}$, thay $x$ bởi $-x$:

$$\sinh(-x)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^{-(-x)}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}-e^{x}\right)=-\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-\sinh x.$$

Vì tập xác định $\mathbb{R}$ đối xứng và $\sinh(-x)=-\sinh x$ với mọi $x$, nên $\sinh x$ là hàm số lẻ (đpcm).

b) Chứng minh $\cosh x$ là hàm số chẵn.

Với mọi $x\in\mathbb{R}$, thay $x$ bởi $-x$:

$$\cosh(-x)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^{-(-x)}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{-x}+e^{x}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cosh x.$$

Vì tập xác định $\mathbb{R}$ đối xứng và $\cosh(-x)=\cosh x$ với mọi $x$, nên $\cosh x$ là hàm số chẵn (đpcm).

c) Chứng minh $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1$ với mọi $x$.

Ta tính từng bình phương (dùng $\left(e^{x}\right)^2=e^{2x}$, $\left(e^{-x}\right)^2=e^{-2x}$ và $e^{x}\cdot e^{-x}=1$):

$$(\cosh x)^2=\frac{1}{4}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^2=\frac{1}{4}\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right);$$

$$(\sinh x)^2=\frac{1}{4}\left(e^{x}-e^{-x}\right)^2=\frac{1}{4}\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right).$$

Trừ vế theo vế:

$$(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=\frac{1}{4}\left[\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)\right]=\frac{1}{4}\cdot 4=1.$$

Vậy $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm).

Đáp số