Giải Bài 6.25 trang 15 SBT Toán 11

Lời giải

Hàm số đã cho là $f(x) = \log_a x$ với $0 < a \neq 1$ và tập xác định $x > 0$.

a) Chứng minh $f\left(\dfrac{1}{x}\right) = -f(x)$.

Với mọi $x > 0$ thì $\dfrac{1}{x} > 0$ nên $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ xác định. Áp dụng quy tắc lôgarit của một thương:

$$f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \log_a \dfrac{1}{x} = \log_a 1 - \log_a x = 0 - \log_a x = -\log_a x.$$

Mà $\log_a x = f(x)$, do đó

$$f\left(\dfrac{1}{x}\right) = -f(x). \qquad \text{(đpcm)}$$

b) Chứng minh $f(x^\alpha) = \alpha f(x)$.

Với $x > 0$ thì $x^\alpha > 0$ nên $f(x^\alpha)$ xác định với mọi số thực $\alpha$. Áp dụng quy tắc lôgarit của một lũy thừa:

$$f(x^\alpha) = \log_a x^\alpha = \alpha \log_a x.$$

Mà $\log_a x = f(x)$, do đó

$$f(x^\alpha) = \alpha f(x). \qquad \text{(đpcm)}$$

Đáp số