Giải Bài 6.20 trang 12 SBT Toán 11
Đề bài
Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02% là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng
$R = e^{kx}$,
trong đó $x$ (%) là nồng độ cồn trong máu và $k$ là một hằng số.
a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng 0,02% là 1,4. Tìm hằng số $k$ trong phương trình.
b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,17%?
c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.
d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?
Lời giải
Mô hình: $R = e^{kx}$, với $x$ (%) là nồng độ cồn trong máu (BAC) và $k$ là hằng số.
a) Tìm hằng số $k$.
Với BAC $x = 0{,}02$ thì nguy cơ tương đối $R = 1{,}4$. Thay vào phương trình:
$$1{,}4 = e^{0{,}02k}.$$
Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:
$$0{,}02k = \ln 1{,}4 \;\Rightarrow\; k = \dfrac{\ln 1{,}4}{0{,}02} \approx \dfrac{0{,}3365}{0{,}02} \approx 16{,}82.$$
Vậy $k \approx 16{,}82$ và mô hình là $R = e^{16{,}82\,x}$.
b) Nguy cơ tương đối khi BAC $x = 0{,}17$.
$$R = e^{16{,}82 \cdot 0{,}17} = e^{2{,}86} \approx 17{,}46.$$
Vậy nguy cơ tương đối khoảng $17{,}46$ (gặp tai nạn cao gấp khoảng $17{,}5$ lần người không uống rượu).
c) Tìm BAC ứng với nguy cơ tương đối $R = 100$.
$$100 = e^{16{,}82\,x} \;\Rightarrow\; 16{,}82\,x = \ln 100 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\ln 100}{16{,}82} \approx \dfrac{4{,}605}{16{,}82} \approx 0{,}27.$$
Vậy BAC $\approx 0{,}27\%$.
d) BAC từ bao nhiêu trở lên thì không được phép lái xe.
Người không được phép lái xe khi $R \ge 5$:
$$e^{16{,}82\,x} \ge 5 \;\Leftrightarrow\; 16{,}82\,x \ge \ln 5 \;\Leftrightarrow\; x \ge \dfrac{\ln 5}{16{,}82} \approx \dfrac{1{,}609}{16{,}82} \approx 0{,}096.$$
Vậy người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng $0{,}096\%$ (xấp xỉ $0{,}1\%$) trở lên sẽ không được phép lái xe.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.