Giải Bài 6.19 trang 12 SBT Toán 11

Lời giải

Phân tích công thức lãi kép. Lãi kép kì hạn 6 tháng nghĩa là cứ sau mỗi kì hạn 6 tháng, tiền lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp theo.

Lãi suất 8% một năm, mỗi kì hạn dài 6 tháng (nửa năm) nên lãi suất theo mỗi kì hạn là:
$$r = \frac{8\%}{2} = 4\% = 0{,}04.$$

Gọi $A = 100$ (triệu đồng) là số tiền gửi ban đầu. Theo công thức lãi kép, sau $n$ kì hạn (mỗi kì hạn 6 tháng) người đó nhận được số tiền:
$$T = A(1 + r)^n = 100\cdot(1{,}04)^n \ (\text{triệu đồng}).$$

Thiết lập bất phương trình. Để nhận được ít nhất 120 triệu đồng, ta cần:
$$100\cdot(1{,}04)^n \ge 120 \iff (1{,}04)^n \ge 1{,}2.$$

Lấy logarit hai vế (lôgarit là hàm đồng biến vì cơ số $1{,}04 > 1$):
$$n \ge \log_{1{,}04} 1{,}2 = \frac{\ln 1{,}2}{\ln 1{,}04} \approx 4{,}65.$$

Vì $n$ là số nguyên dương (số kì hạn) nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là $n = 5$.

Kiểm tra lại đáp số.
- Với $n = 4$: $\ T = 100\cdot(1{,}04)^4 \approx 116{,}99$ triệu đồng $< 120$ (chưa đủ).
- Với $n = 5$: $\ T = 100\cdot(1{,}04)^5 \approx 121{,}67$ triệu đồng $\ge 120$ (đạt).

Vậy cần ít nhất $n = 5$ kì hạn. Mỗi kì hạn dài 6 tháng nên thời gian cần thiết là:
$$5 \times 6 = 30 \text{ tháng} = 2 \text{ năm } 6 \text{ tháng}.$$

Kết luận. Sau 5 kì hạn, tức sau 2 năm 6 tháng (30 tháng), người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Đáp số