Giải Bài 6.17 trang 11 SBT Toán 11

Lời giải

Gọi $N = 2^{2023}$. Số chữ số của $N$ khi viết trong hệ thập phân là $[\log N] + 1$, nên ta cần tính $[\log(2^{2023})]$.

Bước 1. Dùng tính chất lôgarit của lũy thừa:
$$\log(2^{2023}) = 2023 \cdot \log 2.$$

Bước 2. Với $\log 2 \approx 0{,}30103$, ta có:
$$2023 \cdot \log 2 \approx 2023 \cdot 0{,}30103 = 608{,}98369.$$

Bước 3. Vì $608 < 608{,}98369 < 609$ nên phần nguyên của $\log(2^{2023})$ là:
$$[\log(2^{2023})] = 608.$$

Bước 4. Vậy số chữ số của $2^{2023}$ là:
$$[\log(2^{2023})] + 1 = 608 + 1 = 609.$$

Kiểm tra lại: Ta có $608 \le 2023\log 2 < 609$, tức là $10^{608} \le 2^{2023} < 10^{609}$. Một số nằm trong khoảng $[10^{608}; 10^{609})$ thì có đúng $609$ chữ số, phù hợp với kết quả trên.

Vậy $2^{2023}$ có $609$ chữ số khi viết trong hệ thập phân.

Đáp số