Giải Bài 6.14 trang 11 SBT Toán 11

Lời giải

Bước 1. Đổi các giả thiết về lôgarit cơ số thuận tiện.

Ta đưa mọi lôgarit về cùng một cơ số (chẳng hạn cơ số $10$) và biểu diễn qua $\log 2,\ \log 3,\ \log 5$.

Từ $a=\log_3 5=\dfrac{\log 5}{\log 3}$ suy ra $\log 3=\dfrac{\log 5}{a}$.

Từ $b=\log_4 5=\dfrac{\log 5}{\log 4}=\dfrac{\log 5}{2\log 2}$ suy ra $\log 2=\dfrac{\log 5}{2b}$.

Bước 2. Viết $\log_{15}10$ theo $\log 2,\ \log 3,\ \log 5$.

$$\log_{15}10=\frac{\log 10}{\log 15}=\frac{\log(2\cdot 5)}{\log(3\cdot 5)}=\frac{\log 2+\log 5}{\log 3+\log 5}.$$

Bước 3. Thay các biểu thức ở Bước 1 (đặt $\log 5=s>0$).

- Tử số: $\log 2+\log 5=\dfrac{s}{2b}+s=s\cdot\dfrac{1+2b}{2b}.$
- Mẫu số: $\log 3+\log 5=\dfrac{s}{a}+s=s\cdot\dfrac{1+a}{a}.$

Do đó

$$\log_{15}10=\frac{\,s\cdot\dfrac{1+2b}{2b}\,}{\,s\cdot\dfrac{1+a}{a}\,}=\frac{a(1+2b)}{2b(1+a)}.$$

Bước 4. Kiểm tra lại bằng số.

Với $a=\log_3 5\approx 1{,}465$, $b=\log_4 5\approx 1{,}161$ thì
$$\frac{a(1+2b)}{2b(1+a)}\approx\frac{1{,}465\cdot 3{,}322}{2{,}322\cdot 2{,}465}\approx 0{,}850,$$
trùng với $\log_{15}10\approx 0{,}850$. Vậy kết quả đúng.

Kết luận: $\log_{15}10=\dfrac{a(2b+1)}{2b(a+1)}.$

Đáp số