Giải Bài 6.12 trang 11 SBT Toán 11

Lời giải

a) Áp dụng công thức $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$ (với $M, N > 0$).

Xét tích hai biểu thức trong dấu lôgarit:
$$\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - 1}\right) = x^2 - \left(\sqrt{x^2 - 1}\right)^2 = x^2 - (x^2 - 1) = 1.$$

Do đó:
$$\log_a\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) + \log_a\left(x - \sqrt{x^2 - 1}\right) = \log_a\left[\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - 1}\right)\right] = \log_a 1 = 0.$$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi biểu thức trong dấu lôgarit ở vế trái bằng cách đặt $e^{2x}$ làm nhân tử chung:
$$1 + e^{2x} = e^{2x}\left(e^{-2x} + 1\right) = e^{2x}\left(1 + e^{-2x}\right).$$

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế và dùng công thức $\ln(MN) = \ln M + \ln N$, $\ln e^{2x} = 2x$:
$$\ln\left(1 + e^{2x}\right) = \ln\left[e^{2x}\left(1 + e^{-2x}\right)\right] = \ln e^{2x} + \ln\left(1 + e^{-2x}\right) = 2x + \ln\left(1 + e^{-2x}\right).$$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Đáp số