Giải Bài 6.34 trang 20 SBT Toán 11

Lời giải

## Bài 6.34

### a) $\log_3(2x+1)\ge 2$

Điều kiện: $2x+1>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$.

Ta viết $2=\log_3 9$, bất phương trình trở thành:
$$\log_3(2x+1)\ge \log_3 9.$$
Vì cơ số $3>1$ nên hàm lôgarit đồng biến, do đó:
$$2x+1\ge 9 \Leftrightarrow 2x\ge 8 \Leftrightarrow x\ge 4.$$
Kết hợp điều kiện $x>-\dfrac12$ ta được $x\ge 4$.

Kết luận: Tập nghiệm $S=[4;+\infty)$.

###

b) $\log_2(3x-1)<\log_2(9-2x)$

Điều kiện: $\begin{cases}3x-1>0\\ 9-2x>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\dfrac13\\ x<\dfrac92\end{cases}\Leftrightarrow \dfrac13<x<\dfrac92.$

Vì cơ số $2>1$ (đồng biến) nên:
$$3x-1<9-2x \Leftrightarrow 5x<10 \Leftrightarrow x<2.$$
Kết hợp điều kiện $\dfrac13<x<\dfrac92$ ta được $\dfrac13<x<2$.

Kết luận: Tập nghiệm $S=\left(\dfrac13;2\right)$.

###

c) $\log_{\frac12}(x+1)\le\log_{\frac12}(4x-5)$

Điều kiện: $\begin{cases}x+1>0\\ 4x-5>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>-1\\ x>\dfrac54\end{cases}\Leftrightarrow x>\dfrac54.$

Vì cơ số $\dfrac12<1$ nên hàm lôgarit nghịch biến, chiều bất phương trình đổi:
$$x+1\ge 4x-5 \Leftrightarrow 6\ge 3x \Leftrightarrow x\le 2.$$
Kết hợp điều kiện $x>\dfrac54$ ta được $\dfrac54<x\le 2$.

Kết luận: Tập nghiệm $S=\left(\dfrac54;2\right]$.

###

d) $\log_2(2x-1)\le\log_4(x+1)^2$

Điều kiện: $2x-1>0 \Leftrightarrow x>\dfrac12$ (khi đó $(x+1)^2>0$ luôn thỏa mãn).

Đổi vế phải về cùng cơ số $2$:
$$\log_4(x+1)^2=\frac{\log_2(x+1)^2}{\log_2 4}=\frac{2\log_2|x+1|}{2}=\log_2|x+1|.$$
Do $x>\dfrac12$ nên $x+1>0$, suy ra $|x+1|=x+1$. Bất phương trình trở thành:
$$\log_2(2x-1)\le\log_2(x+1).$$
Vì cơ số $2>1$ (đồng biến) nên:
$$2x-1\le x+1 \Leftrightarrow x\le 2.$$
Kết hợp điều kiện $x>\dfrac12$ ta được $\dfrac12<x\le 2$.

Kết luận: Tập nghiệm $S=\left(\dfrac12;2\right]$.

Đáp số