Giải Bài 6.31 trang 20 SBT Toán 11

Lời giải

a) $4^{2x-1}=8^{x+3}$

Đưa hai vế về cùng cơ số $2$:

$$\left(2^2\right)^{2x-1}=\left(2^3\right)^{x+3}\ \Leftrightarrow\ 2^{2(2x-1)}=2^{3(x+3)}\ \Leftrightarrow\ 2^{4x-2}=2^{3x+9}.$$

Hai lũy thừa cùng cơ số bằng nhau nên số mũ bằng nhau:

$$4x-2=3x+9\ \Leftrightarrow\ x=11.$$

Vậy phương trình có nghiệm $x=11$.

b) $9^{2x}\cdot 27^{x^2}=\dfrac{1}{3}$

Đưa về cùng cơ số $3$:

$$\left(3^2\right)^{2x}\cdot\left(3^3\right)^{x^2}=3^{-1}\ \Leftrightarrow\ 3^{4x}\cdot 3^{3x^2}=3^{-1}\ \Leftrightarrow\ 3^{\,3x^2+4x}=3^{-1}.$$

Suy ra số mũ bằng nhau:

$$3x^2+4x=-1\ \Leftrightarrow\ 3x^2+4x+1=0\ \Leftrightarrow\ (3x+1)(x+1)=0.$$

Do đó $x=-\dfrac{1}{3}$ hoặc $x=-1$.

c) $(e^4)^x\cdot e^{x^2}=e^{12}$

Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số $e$:

$$e^{4x}\cdot e^{x^2}=e^{12}\ \Leftrightarrow\ e^{\,x^2+4x}=e^{12}.$$

Suy ra:

$$x^2+4x=12\ \Leftrightarrow\ x^2+4x-12=0\ \Leftrightarrow\ (x-2)(x+6)=0.$$

Vậy $x=2$ hoặc $x=-6$.

d) $5^{2x-1}=20$

Lấy logarit cơ số $5$ hai vế (hoặc dùng định nghĩa logarit):

$$2x-1=\log_5 20\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{1+\log_5 20}{2}.$$

Có thể viết gọn: vì $5\cdot 20=100$ nên $5^{2x}=100$, suy ra $x=\dfrac{1}{2}\log_5 100\approx 1{,}43.$

Đáp số